应用画图策略 促进几何直观

孔雪峰

[摘 要]“几何直观”与画图策略有着密切的联系。应用“几何直观”有助于降低问题的难度，促进学生的数学能力高速发展。应用“几何直观”的一个策略就是画图，通过画图，让问题变得直观、简单，从而轻松解决问题。

[关键词]画图策略；几何直观；再认识；实践

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）32-0050-02

“几何直观”是课程标准的一个关键词，它不同于画图策略却又与画图策略有着密切的联系。如何应用画图策略，促进学生的几何直观能力发展呢？下面，笔者结合自己的教学实践谈谈几点思考。

一、一场争议引发的思考

在学校组织学习课程标准的一次沙龙活动中，有教师提出：“《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出的几何直观就是我们教学的画图策略，几何直观只是一个新名词。”许多教师纷纷附和，也有教师提出了自己的不同看法：“几何直观不仅包括画图，还包括演示和操作。”笔者不禁思考，无论是画图策略还是几何直观，都跟图有着千丝万缕的关系，可画图策略和几何直观真的是一回事吗？

二、对画图策略和几何直观的再认识

1.从内在实质来看

画图策略是一种策略方法，是指解题者在解题过程中运用画图的方式，画出与题意相关的示意图，并通过图形进行观察、推理和思考的方法，是解决数学问题的一种重要手段。

几何直观是一种能力与思维模式。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”

2.从涉及对象来看

画图策略中的“图”在小学阶段主要包括示意图、线段图、韦恩图以及面积图，而几何直观中的“图”是一种表征符号，可以是看得到的几何直观演示，也可以是画出来的各种图像，还可以是建立在大脑中的直观表象。因此，几何直观中的“图”比画图策略中的“图”广，它包括画图策略中的“图”。

3.从应用范围来看

画图策略主要是借助图形描述和解决一些实际问题，而几何直观借助图形描述的问题范围更宽泛，包括算术、代数、几何、统计等各个方面的问题，全面涵盖了小学数学的四大领域。因此，几何直观的应用范围比画图策略要大。

4.从目标指向来看

无论是画图策略还是几何直观，都是利用图形来分析和解决问题”，但画图策略的最终目标直接指向解决问题本身，而几何直观则更侧重于获取有效信息以及解决问题的思路与途径，目标指向数学思维能力的形成。

从以上四个方面可以看出，画图策略与几何直观有区别也有联系。画图策略是符合小学生心智的，图像表征能有效促进理解概念、探索规律、解决问题，从而培养学生的几何直观能力。

三、应用画图策略促进几何直观的实践

1.经历“图”的抽象过程，发展学生的直观感知

在低年级学生刚刚接触画图策略时，教师应该引导学生经历“真实情境—再现情境—结构图示（关系图示）—图形表象”的过程。如，教学苏教版第三册“比一个数多或少几的实际问题”时，教师可以设计以下四个环节。

第一环节，真实情境。让学生借助实物，动手摆花片，并在摆的过程中思考如何才能更容易看出“多”和“少”，初步体验“对齐”。

第二环节，再现情境。将实物的花片变成图形，将花片的数量变成图形的数量。这一环节的图形已经有着符号化的意义，它仍然保留着“花片”的影子——几个花片对应着相应图形的个数。这一环节发挥了替代物的作用，也突显了对应思想。

第三环节，结构图示。脱离“花片”这一具体形式，以图形的数量代替花片的数量。这一环节的图示更加突出的是结构——第一行图形可以分成与第二行图形数量一样多的一部分以及多出来的另一部分。正因为本环节脱离了具体的情境，是抽象层面的图示，因此本环节的图示具有普适性。

第四环节，图形表象。要求学生看图并用手比画哪一部分是一样多的、哪一部分是多出来的，问题求的是哪一部分，通过比画建立比多比少的结构化表象。

让学生在一系列活动中获得过程性的体验和一些感性的认识，这些都有利于发展学生的直观感知。

2.掌握“图”的多种表征，发展学生的直观理解

教师要根据学生年龄特点和已有的知识经验出发，有计划、有步骤地引导学生利用合适的“图”来表征数学问题，帮助学生获得清晰直观的表象，理解数量之间的关系，逐步建构实际问题的视觉表征系统，培养准确感知现实世界的能力。

（1）示意图。示意图是大体描述物体的形状、相对大小、物体之间的关系的图示，它的优点是简单明了、重点突出，缺点是忽略了很多细节。例如，教学苏教版第一册第106页的思考题“从前往后数，第5只是小鹿，从后往前数，第8只是小鹿，一共有多少只动物？”时，我让学生自己动手画一画，要求通过画出的图形能很快地数出一共有多少只动物。学生画出的示意图如下图所示（黑色的圆代表小鹿）。

（2）线段图。线段图是将几条线段组合在一起，用来表示问题中的数量关系，帮助学生分析题意、解答问题的一种平面图形，它能够把抽象问题具体化，是一种半抽象的图形。例如，教学苏教版第十一冊第84页例3“林阳小学去年有24个班级，今年的班级数比去年增加了[14]，今年一共有多少个班级？”时，我引导学生画线段图分析：先找到单位“1”——去年的班级数，然后根据今年的班级数比去年增加了[14]，画出表示今年班级数的线段。学生画出的线段图如下图所示。

这是一个稍复杂的实际问题，学生通过画线段图直观理解了去年的班级数与今年的班级数之间的关系，从而顺利地解决了问题。

（3）树形图。树形图是以父子层次结构来组织对象的一种表达方式。在教学“搭配”时，使用树形图会更加直观。例如，教学苏教版第八册第51页“想想、做做”第二题“3件上衣，2条裤子，3条裙子，一共有多少种不同的穿法？”时，学生画图出树形图（如下图），问题很快就迎刃而解。

（4）韦恩图。韦恩图是用封闭曲线（内部区域）表示集合及其关系的图形。例如，三年级一班有20人订阅《小学生数学报》，有15人订阅《小学生作文》，全班共有30人订阅杂志，两种杂志都订阅的有多少人？用韦恩图（如下图）来表示，学生就能直观理解重叠部分表示的是两种杂志都订阅的学生。

（5）长方形图。长方形图也叫矩形图或面积图，它是一种迁移、应用很广的图示方法。例如，原计划买15个篮球，每个50元，实际每个涨价5元，而且多买了5个，实际比原计划多花了多少钱？将这样的问题用長方形图（如下图）来描述题意，学生惊奇地发现题目变简单了。

3.探索“图”内在的奥秘，发展学生的直观洞察

对于画图策略，不仅要求学生能根据题意用恰当的图形去形象表征数学问题，还要充分发挥直观推理在问题解决过程中的作用，鼓励学生借助直观进行想象和猜测，进而洞察数学对象的结构与关系。

（1）探索“图”的变化规律

例如，“周长都是16厘米的长方形，长和宽各取多少时，面积最大？”学生利用方格纸画图（如下图），首先认识到周长为16厘米的长方形有很多个，然后通过把这些图有序排一排，渐渐能悟到：当长和宽差距变小时，长方形的面积就会变大；当长和宽差距变大时，长方形的面积就会变小；当长和宽相等时，长方形的面积最大。这样的发现是学生通过画图和看图获得的一种直观认知，含有一定程度的猜测。这样的经历将有利于培养学生更高层次的几何直观能力——直观洞察，有利于发现直观载体的深层意义与内在的本质。

（2）探索“图”的隐藏信息

例如，苏教版教材第八册“解决问题的策略”中有一道题：“小营村原来有一个宽20米的长方形鱼池，后来因扩建公路，鱼池的宽减少了5米，这样鱼池的面积就减少了 150平方米。现在鱼池的面积是多少平方米？”

多数学生画图（如下图）后这样计算：150÷5=30（米），30×（20-5）=450（平方米）。只有极少数的学生根据画出的图直接列式计算：150×3=450（平方米）。很多学生都不理解后面这种解法，经过其他学生的讲解，他们才恍然大悟。

是画图给了学生直观的刺激，让学生直观地看到现在的面积与减少面积之间的关系，进而跳过常规的面积计算方式，直接解决问题。这一过程未经充分逻辑推理，却能洞察事物的“骨象”，直接把握对象的全貌和本质，使学生的几何直观能力向前迈进了一大步。

（责编 吴美玲）