山区公路勘测中投影长度变形的控制

□文 /宋保全

在公路勘测中，首先要考虑投影长度变形的影响，为了控制投影变形，我国的国家坐标系采用高斯投影3°或6°分带方式[1]。选取路线平面控制测量坐标系时，应使测区内投影长度变形值≯2.5 cm/km；大型构造物平面控制测量坐标系，投影长度变形值≯1cm/km[2]。通过选取任意中央子午线，可减小投影变形的影响[3]。我国东部平原微丘区，地形起伏较小，控制投影长度变形相对容易；而西部山区，则相对复杂。本文着重山区公路勘测，根据投影长度变形的规律，探讨如何合理选取平面控制测量坐标系，以达到有利于后续设计、施工建设工作顺利开展的目的。

1 投影长度变形规律

我国平面控制网为高斯平面直角坐标系，采用高斯-克吕格投影。地面上观测的长度换算到高斯平面直角坐标系中，需要两个步骤：先将地面观测长度归算到参考椭球面上；然后将参考椭球面上的长度投影到高斯平面上。这两个步骤中长度均发生变形，分别称作高程归化改正和高斯投影改正。

1.1 高程归化改正

高程归化改正公式

式中：Hm——测距边两端点的平均高程；

S0——测距两端点平均高程面上的水平距离；

R——参考椭球在测距边方向法截弧的曲率半径；

ΔS1——高程归化改正值。

按式（1）计算不同高程上每千米水平测距边的高程归化改正值，见表1。

表1 每千米高程归化改正与高程值关系

从表1看出，地面点垂直偏离参考椭球面（或投影面）≯64 m，即垂直跨度≯128 m时，高程归化改正值能控制在±1 cm/km以内；地面点垂直偏离参考椭球面（或投影面）≯160 m，即垂直跨度≯320 m时，高程归化改正值能控制在±2.5 cm/km以内。

1.2 高斯投影改正

高斯投影改正公式

式中：ym——测距边中点到中央子午线的距离；

S——测距两端点在椭球面上的水平距离；

R——测距边中点的平均地球曲率半径；

ΔS2——高斯投影改正值。

按式（2）计算距中央子午线不同距离的每千米水平测距边的高斯投影改正值，见表2。

表2 每千米高斯投影改正与中央子午线关系

从表2看出，距中央子午线距离≯29 km，即东西跨度≯58 km时，高斯投影改正值能控制在±1 cm/km以内；距中央子午线≯45 km，即东西跨度≯90 km时，高斯投影改正值能控制在±2.5 cm/km以内。

1.3 综合长度变形

地面测距边的最终长度变形值是高程归化改正值和高斯投影改正值的叠加。高斯投影改正值随着地面点离开中央子午越远，改正值越大且总为正值；高程归化改正随着垂直偏离参考椭球面（或投影面）的高度越大，改正值越大且高出参考椭球面（或投影面）时，改正值为负值。每千米综合长度变形值ξ的公式

从式（3）看出，选取合适的中央子午线和投影面，可使的高程归化改正值与高斯投影改正值正负相抵，这时的投影面称作抵偿高程面。

2 综合长度变形的控制

在公路勘测中，建立合理的坐标系可使路线综合长度变形值控制在预期范围之内。坐标系的建立就是选取合适的中央子午线和投影面的过程。见图1。

图1中虚线表示参考椭球，①为西高东低的起伏地表。首先，按工程项目的起伏趋势拟合一条直线，见②；自东向西旋转参考椭球（即选取中央子午线），使得趋势线呈水平状态，见③；趋势线距参考椭球最近点处的经线即为中央子午线，趋势线的垂直高程即为投影面高程，见④。

图1 部分地表形态在东西方向的剖面

3 工程实例

我国西部山区某公路项目全长约46 km，前30 km大致东西走向，之后折向东南。见图2。

图2 路线纵断面

路线的海拔高度从2 300～3 100 m，垂直跨度800 m。根据文献［2］，投影长度变形值≯2.5 cm/km的要求，则需要建立三个独立坐标系，才能消化800 m的高差。频繁的坐标转换给勘测、设计以及施工带来很大不便。

根据高程归化改正和高斯投影改正相互抵偿的规律，可以合理优化坐标系。

1）将路线纵断面投影到东西坐标轴上。该项目全长约46 km，投影到东西坐标轴上约36 km。路线纵断面高程及相对应的东坐标见图3。图3中高程归化改正值按相反数展绘（下同）。

2）改变中央子午线位置，使得高程归化改正值与高斯投影改正值变化趋势一致。从图3看出，项目位置处高程归化改正值的变化趋势与对应位置的高斯投影改正值变化趋势明显不一致。但是，高程归化改正值的变化趋势与西侧140 km处的投影改正值变化趋势一致，这时需要将中央子午线东移（或者说项目位置西移）。经计算，中央子午线东移134 km，得到的改正值见图4。

图3 原始各项改正值

图4 平移中央子午线后各项改正值

3）选择投影面，使高程归化改正和高斯投影改正相互抵偿。从图4看出，高程归化改正值与高斯投影改正值变化趋势一致，综合长度变形值趋同，这时需要选择投影面高程（或者说是项目位置下移）。经计算，投影面高程870 m，得到的改正值见图5。

图5 选择抵偿高程面后各项改正值

从图5看出，高程归化改正值与高斯投影改正值变化趋势一致，相互抵偿，此时的投影面即为抵偿高程面。同时，综合长度变形值控制在了±1 cm/km以内。

4 结语

山区地形起伏，使得公路勘测中路线长度变形的控制变得尤为重要。过多的坐标系分带会给工作带来麻烦，同时坐标系精度也不高；合理利用投影长度变形的规律，选取合适的中央子午线和投影面，可以减少坐标系分带，也能保证坐标系精度。实际工作中，注意大型构造物的分布情况，坐标系能同时满足“测区内投影长度变形值≯2.5 cm/km；大型构造物平面控制测量坐标系，其投影长度变形值应≯1 cm/km”的要求，会使勘测工作高效有序。