非对称圆弧齿线圆柱齿轮建模与强度分析

2018-11-12林希

机械设计与制造 2018年11期

林希

1 引言

圆弧齿线圆柱齿轮是一种新型的平行轴齿轮传动，具有综合强度高、运转平稳、无轴向力等优点，适用于高速重载传动的场合。目前，国内外学者对其进行了大量的理论研究与试验验证。文献[1-2]建立了圆弧齿线圆柱齿轮的数学模型，进行齿根根切和齿面几何接触分析，并讨论了在数控滚齿机上的加工实现。文献[3-4]研究了采用圆弧刀刃铣刀盘，对圆弧齿线圆柱齿轮进行双面展成的数学模型和强度性能。文献[5]比较了采用单面法和双面法加工圆弧齿线圆柱齿轮的几何特征及强度性能。在国内，文献[6]提出了利用标准滚刀在数控滚齿机上加工圆弧齿线圆柱齿轮的方法；文献[7]提出了圆弧齿线圆柱齿轮的齿廓、齿线修形，并讨论了在普通多轴联动数控机床上的加工。文献[8]研究了圆弧齿线圆柱齿轮的加工原理、建模及有限元强度计算。双压力角非对称是指轮齿两侧的压力角不相等。通常，工作侧选用大压力角能够显著提高齿根弯曲强度和齿面接触强度，而非工作侧选择小压力角，可避免轮齿齿顶变薄、断齿等不利现象。

将双压力角非对称设计运用到圆弧齿线圆柱齿轮中，旨在提高轮齿的综合强度。首先，以双压力角非对称铣刀盘为刀具，根据展成加工原理，建立齿面数学模型，获得齿面离散点坐标；其次，在Pro/E中对齿轮副进行逆向建模；最后，借助ABAQUS比较两组双压力角非对称齿轮的应力结果。

2 齿面数学模型

非对称圆弧齿线圆柱齿轮是以双压力角铣刀盘为刀具，采用双面法切制齿轮，即在一次安装调整中同时切出轮齿的凹、凸两侧。限于篇幅，仅推导小轮凹面的齿面方程，其加工原理类似于以假想圆弧齿线齿条加工齿轮的模型。铣刀盘的法截面，如图1（a）所示。它由两侧非对称的直线刃和刀顶圆弧组成；坐标系Sa为法截面的参考坐标系，如图1（b）所示。坐标系Sc为假想圆弧齿线齿条的参考坐标系；法截面绕刀盘轴线旋转形成切削锥面，取一定范围的刀盘转角后使之成为假想圆弧齿线齿条。在坐标系Sa中，直线刃的位置矢量为：

式中：la—假想齿条的坐标参数，表示刀尖点到切削点的距离；αi（i=c，d）—小轮工作面（凹面）和非工作面（凸面）的刀具压力角；ac，ad—假想齿条工作侧和非工作侧的厚度；符号‘±’中的上标表示加工凹面的外刀；下标表示加工凸面的内刀。

在坐标系Sc中，由直线刃绕轴线旋转得到假想齿条的齿面方程为：

式中：Mca—坐标系Sa到坐标系Sc的变换矩阵，表示为：

式中：θc—刀盘旋转角；Rf—刀盘半径。

假想齿条的法矢为：

式中：ncx、ncy、ncz—假想齿条法矢的三个分量，‘±’含义同式（1）。

图1 假想圆弧齿线齿条Fig.1 The Imagine Arc Tooth Rack

圆弧齿线圆柱齿轮的展成坐标系，如图2所示。根据齿轮啮合原理，在刀具和被加工齿轮的某个切削点上，该点的法矢经过瞬轴I-I，必须满足啮合条件：

式中：Xc、Yc、Zc—瞬轴的坐标；xc、yc、zc—切削点的坐标；取 Xc＝0，Yc=-rp1φ1，其中 rp1为小轮节圆半径，φ1为小轮加工转角，

将Xc和Yc代入式（5）中得到φ1的表达式为：

将刀具的切削面方程和法矢表示在小轮坐标系S1中，即可得到小轮的齿面方程和法线方程如下：

式中：M1c—坐标系Sc到坐标系S1的变换矩阵。

图2 基于假想齿条的展成坐标系Fig.2 The Coordinate System Based on Imagine Rack

仅推导小轮凹面的工作齿面方程，用类似的方法可推导出小轮的过渡曲面方程，同理，可获得大轮的齿面数学模型。

3 齿轮逆向建模

非对称圆弧齿线圆柱齿轮的中截面为标准渐开线，其余截面是准渐开线齿形；由于齿形较为复杂，无法进行直接建模。而采用面向加工的建模方法[9]，是模拟齿条和轮坯的展成运动，其过程复杂、操作繁琐。提出基于齿面离散点坐标的齿轮逆向建模，其步骤如下：（1）根据非对称圆弧齿线圆柱齿轮齿面方程，编写MATLAB程序，对工作齿面和过渡曲面进行网格划分，获得齿面离散点坐标，并保存为Pro/E可读取的数据格式。（2）将齿面离散点坐标导入到Pro/E软件中，用曲线拟合工具对离散点进行拟合，生成U线和V线[8]。通过边界混合工具对拟合曲线进行处理，生成凸面和凹面。利用填充、修剪、缝合等工具，生成齿槽，封闭后生成齿槽实体模型。（3）根据齿轮设计参数，采用旋转、拉伸等操作，生成轮坯实体模型。对齿槽进行圆形阵列，并与轮坯实体进行布尔运算，生成齿轮实体模型。（4）进入装配模块，根据装配参数，生成齿轮副的装配模型，并进行运动仿真，检验是否发生干涉。

4 有限元分析

采用ABAQUS对非对称圆弧齿线圆柱齿轮副进行静态接触分析。以齿轮副的5齿模型为例，首先，保存齿轮副的三维实体装配模型为IGES格式；其次，将其导入到ABAQUS中，对模型划分有限元网格，得到大、小轮的单元数均为16454，网格单元选用三维实体单元C3D8R。最后，对模型进行如下设置[10]：（1）定义接触面。分别选取大轮凸面和小轮凹面上的工作齿面部分作为接触面。（2）定义材料属性。大轮和小轮材料属性均为：弹性模量E=206GPa，泊松比 μ=0.3，密度 ρ=7800kg/m3，各项同性；通过截面指派将材料属性分别赋予大轮和小轮。（3）结构装配。在装配模块中，将大轮和小轮进行装配，建立大轮和小轮局部坐标系，并在各自轴线上建立参考点。（4）创建分析步：建立分析步Step-1，以大轮凸面为主动面、小轮凹面为从动面建立相互作用关系；将负载扭矩施加在大轮参考点上。（5）建立接触控制属性和相互作用。建立5个标准接触控制，属性为自稳定性；在Initial分析步中，依次选取每个接触对的大轮凸面和小轮凹面建立接触关系；在分析步Step-1中，将5个接触控制分别赋予5个相互作用。（6）约束和边界条件。建立大轮和小轮绕参考点旋转的约束，小轮为全约束，保留大轮绕轴线旋转的自由度。

完成以上设置后，进行作业分析，并对结果进行后处理。

5 算例

5.1 齿轮副建模

非对称圆弧齿线圆柱齿轮副的基本参数，如表1所示。刀盘直径Rf=304.8mm，单圆弧齿顶圆角半径r0=1.1794mm，假想圆弧齿线齿条的工作侧齿厚ac=2.5121mm和非工作侧齿厚ad=2.2002 mm。

表1 齿轮基本参数Tab.1 Basic Parameters of Gear

在Pro/E中完成非对称圆弧齿线圆柱齿轮副的逆向建模。齿轮副的装配图，如图3所示。齿面光顺平滑，测量拟合齿面与离散点之间的误差，大轮的最大误差为0.023mm，小轮的最大误差为0.025mm，拟合精度较高。运动仿真结果表明，轮齿间未发生轮齿干涉。

图3 装配图Fig.3 Assembly Drawing

5.2 应力计算

两种方案轮齿两侧的压力角，如表2所示。有限元分析时均取小轮凹面和大轮凸面作为工作面，设定工作载荷为500N·m。

表2 设计方案Tab.2 Design Program

方案1中某瞬时大轮的弯曲应力云图和接触应力云图，如图4、图5所示。齿面接触应力区呈椭圆形，椭圆中心的应力值最大，应力向四周扩散并逐渐减小。

图4 大轮弯曲应力云图Fig.4 Bending Stress Cloud of Gear

图5 大轮接触应力云图Fig.5 Contact Stress Cloud of Gear

图6 齿根弯曲应力比较Fig.6 Comparison of Tooth Root Bending Stress

图7 齿面接触应力比较Fig.7 Comparison of Tooth Surface Contact Stress

表2中两种设计方案的齿根弯曲应力曲线和齿面接触应力曲线，如图6、图7所示。图中横坐标是将整个啮合过程平均分成四等份后的接触位置序号。由图可知，齿根弯曲应力和齿面接触应力均先增大后减小的变化趋势；由于接触位置3靠近节线附近，为单齿啮合区，应力值最大。方案1的弯曲应力和接触应力均比方案2小，表明增大压力角有利于提高轮齿强度。