基于改进PageRank算法的电网关键节点辨识方法

姜盛波,杨军，吴赋章，谭本东，谢培元，李军

(1.武汉大学电气与自动化学院, 武汉市 430072； 2.国网湖南省电力有限公司, 长沙市 410000)

0 引 言

近年来，世界范围内发生多起大停电事故[1-2]，造成了严重的社会经济损失。研究表明，母线跳闸和支路开断是导致大停电事故的重要源发性故障，其中母线跳闸将极大改变电网的拓扑结构和运行状态，影响电网功率的正常传输，同时可能增加电网的安全隐患，甚至引发连锁故障而造成大量的负荷损失，较支路开断危害更大。因此，全面有效地辨识电网中的关键节点并进行重点监控，对提高电网的供电可靠性和安全运行水平、防御大停电事故具有重要意义。

在电网关键节点的辨识方面，现有研究主要围绕复杂网络理论和系统物理特性分析展开。文献[3-4]基于复杂网络理论分析电网结构脆弱性，结果表明少量高介数节点的缺失会改变电网拓扑特征，削弱电网的功率传输功能，增大连锁故障发生的概率。文献[5]在构建电网拓扑模型的基础上，利用复杂网络理论和有向权重图对电网中的脆弱节点和线路进行有效辨识。

上述文献仅从拓扑结构方面评估节点关键性，难以贴合电力系统实际背景。针对此问题，相关学者考虑电网物理特性和运行状态对基于拓扑分析的辨识方法进行改进。文献[6]通过分析电网潮流的分布机理，基于电气距离定义电气耦合连接度的概念，进而对电网的关键节点进行辨识。文献[7]以功率灵敏度矩阵为基础，综合考虑线路负载率、发电机出力、负荷水平等因素，基于改进节点电气介数指标辨识关键节点。文献[8-9]基于网络拓扑特征参数和物理特性，定义考虑全局重要性和局部重要性的节点重要度贡献矩阵，并以矩阵为基础构建关键节点辨识模型。文献[10]考虑节点与系统间的相互影响，从节点抗干扰能力和综合影响力两方面构建评价指标，利用灰色关联投影评价模型辨识关键节点。此外，熵理论也被广泛应用于关键节点辨识，文献[11]提出基于潮流分布熵和潮流转移熵的电网脆弱性评估模型，可以有效辨识出影响电网安全的薄弱环节。文献[12]考虑负荷波动对节点电压幅值和潮流分布的影响，基于奇异值熵和潮流分布熵辨识电力系统中的关键节点，从电气影响角度分析节点对电网安全的威胁。随着机器学习算法在电力系统应用的深入，相关专家尝试将其引入电网关键环节辨识领域。文献[13-14]结合网络拓扑和运行状态，基于PageRank算法快速辨识易引发大停电事故的脆弱线路。文献[15]考虑节点负荷等级和容量评估节点初始重要度，并利用PageRank算法辨识影响负荷供电的重要节点，但忽略了发电机节点和枢纽节点在负荷供电中所起的重要作用，同时也未能计及节点对电网安全水平的影响。

基于上述研究背景，本文提出一种基于改进PageRank算法的关键节点辨识方法，弥补文献[15]无法计及发电机节点和枢纽节点供电重要性的不足，并考虑节点故障对系统安全的影响。首先，结合电网拓扑结构和潮流方向，构建原始电网Google矩阵；然后，基于节点重要度评估指标修正原始Google矩阵，并计及发电机在系统中的功率支撑作用构建衍生矩阵；最后，采用PageRank算法辨识在负荷供电中起重要作用的关键节点。该文同时考虑节点失效对电网潮流和电压幅值的冲击，并结合节点安全指标和Topic-Sensitive思想构建电网安全主题向量，对综合影响负荷供电和电网安全的关键节点进行辨识。

1 PageRank算法

1.1 PageRank基本原理

PageRank算法[16]由Sergey Brin 和Larry Page提出，是Google公司通过网页之间的超链接关系评估网页等级和重要性的一种网页排序技术。PageRank核心思想可概括如下：

(1) 如果一个网页被很多其他网页链接到，说明这个网页很重要，它的PageRank值PR会相应较高；

(2)如果一个PageRank值很高的网页链接到另外某个网页，则被链接的网页的PageRank值PR也会相应提高。

互联网可以看作是一个有向图，网页代表有向图的节点，超链接代表有向图的边。基于PageRank算法的核心思想，设B(Ti)表示指向网页Ti的网页集合，则网页Ti的PageRank值PR可表示为B(Ti)所包含网页的PR的加权和。PR是标识网页等级和重要性的标准，PR越大，表示网页的质量越高，越受欢迎；PR越低，表示网页质量和等级越低。网页Ti的PR计算公式为

(1)

式中：Tj为指向Ti的网页；|Tj|为由Tj发出的超链接个数。

假设互联网中共存在n个网页，R表示n维PageRank向量，则各网页的PR可通过构建Google矩阵并按照式(2)迭代得到：

(2)

式中：G为Google矩阵，是n阶方阵；S为通过网页间的超链接关系构建的邻接矩阵，若存在超链接由网页Ti指向网页Tj，则S中第i行、第j列的元素sij=1/|Tj|，否则sij=0；α为阻尼系数，取值范围为0～1；e为元素全为1的n维列向量;R(k)为第k次迭代时的PageRank向量。

阻尼系数α用于控制上网者随超链接访问次数占总跳转次数的比例和保证迭代过程的收敛性，因为收敛的PageRank向量才可以反映网页的重要性。

1.2 Topic-Sensitive PageRank 算法

PageRank算法由于忽略了主题相关性，导致基于式(2)获得的PageRank向量相关性和主题性有所下降，网页排序结果难以满足不同上网用户的需求。主题敏感(topic-sensitive，TS)PageRank算法通过预先定义话题类别，为每个话题单独维护1个主题向量，根据用户的话题倾向给出个性化排序结果。

在计算网页的个性化PageRank向量时，首先基于离线计算对网页进行话题分类，得到与某一话题V相关的主题向量v，然后将式(2)中的向量e替换为v，并获得新的Google矩阵Gnew：

(3)

式中：v为n维主题列向量，若网页Ti属于话题V，则v中第i行的元素vi=1，否则vi=0；〈v〉为向量v中元素1的个数。

采用式(3)得到的Google矩阵进行PageRank向量迭代计算，可以更好地满足用户需求。

2 电网Google矩阵

电网和互联网具有相似的复杂网络特性，如网络中只有少数节点存在较多的连接，大多数节点连接较少，体现了复杂网络的无标度特性。同时，两者也具备一定的小世界特性[17-18]，因此可在构建电网有向图的基础上应用PageRank算法辨识关键节点。其关键在于构建体现电网节点链接重要性的电网Google矩阵。

2.1 原始Google矩阵

电网中的母线可以看作互联网中的网页，电网中的输电线路可以看作互联网中的超链接，线路潮流的方向则可以表征互联网超链接的指向。基于电网拓扑结构和潮流方向，可以建立电网有向无权图并构建电网的原始Google矩阵GIni。

(4)

(5)

式中：SIni为原始邻接矩阵；sii为SIni的对角元素，sii=0；sij(i≠j)为SIni的非对角元素，若母线i有功率流向母线j，则sij=1，否则sij=0。

2.2 Google矩阵修正

2.1节中的原始Google矩阵是基于电网的有向无权图构建的，传统PageRank的迭代计算会导致各节点的PR被均分给所指向节点。本文考虑电网实际作相应改进：由于节点类型和潮流分布的不同，节点对其指向节点的功率贡献度是存在显著差异的，因此须对原始Google矩阵进行修正来适应电网应用场景，保证重要度高的节点能够分配到更大的PR。

2.2.1节点重要度评估

负荷供电和功率传输是电网的主要功能，因此在评估节点重要度时，不仅要考虑电网的拓扑结构，还要结合电力系统的实际运行状态。

(1)电网潮流。

(2)节点传输容量。

节点传输容量是指流经某节点的潮流总和，节点传输容量越大，表明该节点在系统中的枢纽作用越强，节点扰动或故障将严重影响系统的功率传输。因此，传输容量的大小可以表征节点的重要度，定义节点重要度指标Z1,i：

(6)

式中：CTrans,i为节点i传输容量；Br(i)为由节点i流出功率的支路集合；f(L)为支路L流过功率；PD,i为节点i负荷功率。

(3)负荷容量和负荷等级。

节点负荷的大小直接影响网络潮流分布，同时隐含一定的电压信息。负荷容量越大，节点电压等级越高，对应节点重要度也越高。负荷等级体现不同用户对供电可靠性的要求，高等级负荷(如一类负荷)中断供电可能造成严重的人身和设备事故。同等故障规模下，负荷等级越高所造成的经济损失和社会影响就越大。定义节点负荷重要度指标Z2,i：

(7)

式中：φ、γ、χ分别为一类、二类、三类负荷的占比；k1、k2、k3分别为一类、二类、三类负荷的等级系数，本文中分别取值4、2、1。

综合考虑节点传输容量、负荷容量和负荷等级，定义节点综合重要度指标Zi：

(8)

(9)

(10)

在迭代计算过程中，为保证重要度高的节点分配到的PR更大，本文基于节点综合重要度指标设置节点权重向量W=[w1,w2,w3,…,wi,…,wn] ，并对邻接矩阵进行二次修正得到Smod2：

Smod2=Smod1diag(W) =

(11)

式中：diag(W)为权重向量W的对角矩阵。

各节点权重wi随节点重要度降低而减小。

2.2.2虚拟节点和衍生矩阵

发电机节点是电网的功率来源，承担着向电网注入功率的重要作用，但由于其主要分布在电网边缘位置，缺少向其输送功率的节点。由PageRank核心思想可知，节点的重要度是由指向其的节点数量和节点重要度决定的。因此，在应用PageRank算法计算发电机节点PR时，最终结果往往是比较小的。显然这与发电机节点在整个网络中发挥的重要作用是相悖的。

为了弥补上述不足，将PageRank算法与电网实际更好地结合，本文在原有电网结构基础上添加虚拟节点(dummy node，DN)，如图1所示。图1中，所有的负荷节点指向该虚拟节点，而该虚拟节点指向所有发电机节点，并分别用节点负荷和发电机出力为边权重赋值，保证添加虚拟节点后系统仍保持功率平衡。5.1节仿真结果表明，该处理方法可以有效兼顾发电机节点的功率支撑作用。

图1 虚拟节点示意图Fig.1 Diagram of grid with DN

(12)

至此，可以得到适应于电网场景的Google矩阵Gp：

(13)

3 电网安全分析及关键节点辨识

第2节中，电网Google矩阵是基于稳态电网构建的，它考虑了节点在负荷供电方面的重要性，但却忽略了节点失效对整个系统安全性的影响。本节考虑母线故障对电网潮流和电压幅值的冲击，基于N-1安全校核结果评估节点安全重要性，并结合Topic-Sensitive思想，综合考虑节点对负荷供电和电网安全的影响，辨识电网中的关键节点。

3.1 节点安全性评估

线路过载和节点电压越限是连锁故障蔓延的推动因素。节点失效作为大停电事故的重要源发性故障，会极大冲击电网的运行状态，造成大规模潮流转移和电压波动。基于上述考虑，定义加权潮流熵[7]和电压冲击因子表征节点失效对电网安全的影响。

3.1.1加权潮流熵

熵是用来描述系统离散性的函数，潮流熵可以对系统潮流分布的不均匀性进行定量分析。定义节点i停运后，系统的潮流熵Hi为

(14)

式中：C为常数；βj为负载率位于区间δj∈(Uj,Uj+1]的线路数占总线路数的比例；N为负载率划分的区间数。

Hi反映节点i失效后系统潮流分布的有序性，但未能计及各区间线路的负载率对电网运行状态的影响，导致即便在Hi相同的情况下，电网的安全水平仍会因负载率的不同而不同。因此，结合潮流熵和平均负载率，定义加权潮流熵Hw,i：

(15)

(16)

式中：ηj为区间δj∈(Uj,Uj+1]内各线路的平均负载率；l为区间δj包含的线路数；Rk为区间δj内线路k的负载率。

若线路因母线失效而停运，则停运线路与Rk≥1的线路归于同一区间。

加权潮流熵在潮流熵的基础上以各区间线路平均负载率对熵函数进行加权，既能反映线路在不同区间的分布情况，也能在一定程度上考虑平均负载率对电网安全的影响。Hw,i越小，表明系统潮流分布越均匀。当各线路负载率均位于同一区间时，线路按传输容量承担相应的功率输送任务，系统整体安全性较高；Hw,i越大，表明系统潮流分布越无序，部分线路负载率过高，甚至存在过载线路，节点失效对系统运行状态的影响越显著，进而引发连锁故障的概率越大。

3.1.2电压冲击因子

节点失效会造成系统无功的局部失衡，导致节点电压幅值波动，影响电网的静态电压稳定。定义电压冲击因子Fi，表征节点i失效对系统节点电压幅值的冲击效应：

(17)

Fi越大，表明节点i失效对系统电压幅值的冲击越强，剩余节点发生电压越限的可能性越高，系统整体安全性越低。

3.2 关键节点辨识

本文提出的基于改进PageRank算法的电网关键节点辨识方法的步骤如下详述。

(1)初始化电网拓扑结构及运行状态，并进行稳态潮流计算。

(2)基于拓扑结构信息和潮流方向构建原始Google矩阵。

(3)Google矩阵修正：基于稳态潮流信息对节点进行供电重要性评估，初步修正电网Google矩阵；添加虚拟节点，扩展邻接矩阵，并对扩展矩阵进行行归一化处理得到衍生矩阵Gp。

(4)考虑负荷供电重要性的节点排序：设置PageRank向量初始值R0为元素全为1的n+1维列向量，将衍生矩阵Gp代入式(2)并利用幂法迭代计算得到稳态PageRank向量R。

4 关键节点的攻击分析

为了验证本文所提方法在关键节点辨识方面的有效性，通过模拟对关键节点进行蓄意攻击，研究关键节点失效对电力系统负荷供电和安全稳定的影响。

系统可供电能力[19]是衡量电网供电能力的有效指标，可以反映电网运行过程中实际输送的功率。若节点失效导致系统可供电能力骤降，则表明该节点在负荷供电方面的重要性较高。系统可供电能力ET定义为系统遭受蓄意攻击后的负荷水平与系统稳态运行状态下的负荷水平之比：

(18)

功率越限严重度和电压偏移严重度可分别衡量节点失效对支路潮流和节点电压幅值造成的冲击。定义各支路功率越限严重度λk函数如图2(a)所示，各节点电压偏移严重度μj函数如图2(b)所示，则节点i失效对系统造成的故障严重度Ai可按下式计算：

(19)

式中：m为网络包含的支路数目；wλ、wμ分别为各支路功率越限严重度和各节点电压偏移严重度的权重系数。

图2 支路功率越限和节点电压偏移程度Fig.2 Level of branch overlimit and node voltage deviation

5 算例验证

本文以IEEE 39节点测试系统进行算例验证，系统元件参数采用标准数据，节点负荷等级数据见附表A1。

5.1 考虑负荷供电的关键节点辨识

基于3.2节关键节点辨识流程的步骤(1)—(4)，计算各节点的PageRank值，以此表征节点在负荷供电方面的关键性。各节点的PR值在添加虚拟节点前后的变化情况如图3所示，其中，PR排序前10的节点信息见表1。

图3 节点PR的变化情况Fig.3 Difference of node PR values

表1 关键节点信息Table 1 Information of critical nodes

图3中，柱状图的柱体代表各节点PR，柱体由上下两部分构成。柱体上半部分颜色加深，表示节点PR在添加DN后升高；柱体上半部分颜色变浅，表示节点PR在添加DN后降低。由图3可见，在添加虚拟节点后，发电机节点的PR均有所提高，发电机对电网的电源支撑作用得到充分体视；同时，与主干变压器直接相连节点(如节点6、10、20)的PR也得到提升，节点重要性排序相应提高，这是因为此类节点失效将阻断发电机功率外送的通道，造成系统的功率缺额。由此可见，DN的添加更加符合电力系统的实际运行情况。

由表1可知，基于本文方法辨识得到的关键节点中，节点39的PR最高，这是由于节点39既是发电机节点，又是负荷节点，且发电机出力和负荷大小均排在第1位，在负荷供电方面起关键作用。同理，节点38的发电机出力占系统总出力的13.5%，在考虑发电机电源重要性的情况下，排名大幅提升；节点16在添加DN节点前、后均排第3位，基于拓扑分析可以得到，节点16处于网架连接的枢纽位置，一旦发生故障，整个电网将解列为3部分，孤岛功率平衡和潮流转移过程会导致大量负荷损失；节点4、8与节点16类似，是系统功率交换的枢纽节点，承担功率汇总和分配任务，排名虽然有所下降，但本文方法仍认定其为关键节点。

为进一步验证本文所提方法的有效性和优越性，通过对电网关键节点进行连续攻击的方式，观察系统可供电能力指标的变化情况，并与文献[8]和文献[9]的辨识结果进行对比。其中，文献[8]辨识出的关键节点依次为节点16、19、20、6、23、22、8、10、34、5；文献[9]辨识出的关键节点依次为节点16、4、12、26、3、11、15、5、19、14。关键节点按顺序依次移除后的系统可供电能力变化情况对比如图4所示。由图4可知，本文方法辨识的关键节点在遭受攻击后，系统可供电能力指标下降是最快的，连续攻击排名前4的节点，可供电能力急剧下降到50%左右；文献[9]在第5个节点遭受攻击后，系统可供电能力指标基本维持在70%左右；文献[8]的前2个节点遭受攻击后，系统可供电能力指标下降最慢，之后的攻击效果便介于本文方法和文献[9]之间。综合分析可得，本文方法的辨识结果在一定程度上优于文献[8-9]中的方法，得到的关键节点在系统负荷供电和功率传输中扮演更重要的角色。

图4 系统可供电能力变化情况对比Fig.4 Comparison of power supply capability of system

5.2 考虑电网安全的关键节点辨识

在考虑节点供电重要性的基础上，融入电网安全因素，基于3.2节关键节点辨识流程的步骤(5)—(7)，辨识综合影响电网供电和安全的关键节点。综合考虑加权潮流熵和电压冲击因子的节点安全指标评估结果如图5所示。电网运行人员重点关注对电网安全造成较大影响的节点，因此本文选取安全指标排在前5的节点构建电网安全主题向量v(选取标准可参考节点规模的10%，并根据运行需求适当调整)，进而对节点进行排序，排名前10的节点见表2。

图5 节点安全指标的归一化结果Fig.5 Normalized result of node security indexes

表2 关键节点排序Table 2 Order of critical nodes

由表2可知，节点31在考虑节点对电网安全影响因素时，排名大幅上升，这主要是由于节点31为平衡节点，对维持系统功率平衡起重要作用，节点失效将导致系统功率产生较大波动，会对电网安全造成较大冲击；节点19作为发电机33、34功率外送的唯一通道，节点失效同样会造成电网大规模的潮流转移和电压波动，其整体排名也因此得以提升；节点4、8、20对电网安全影响相对较小，但由于其在负荷供电方面的重要地位，排名仍比较靠前；同时发现节点39在融入电网安全因素后不再是关键节点，这是由于节点39基本实现功率自给，节点停运对系统安全的冲击较小，在综合考虑节点负荷供电和电网安全因素时排名仅为第12名，综合影响力略显不足。

针对基于PageRank和TS-PageRank两种算法得到的排名前5的关键节点，分别进行蓄意攻击，以第4节定义的故障严重度Ai为指标，评估节点失效对电网安全的影响，这里考虑支路过载较电压越限更容易导致元件停运，取wλ=0.7,wμ=0.3。对故障严重度进行降序排序后的比较结果如图6所示，可以看到，基于TS-PageRank得到的节点失效造成的故障严重度略高于PageRank算法得到的节点，表明此类关键节点的失效对电网安全运行造成更大的影响，运行人员须进行重点监视，降低引发连锁故障的概率。

6 结 论

针对关键节点失效影响电网供电可靠性甚至引发连锁故障的问题，本文从节点负荷供电重要性和电网安全的角度出发，提出一种基于改进PageRank算法的电网关键节点辨识方法。该方法综合考虑电网拓扑、网络潮流和节点重要度评估结果，并设置虚拟节点以充分重视发电机节点的功率支撑作用，保证了Google矩阵较好地贴合电网实际场景；同时，考虑节点故障对电网潮流分布和电压幅值的影响，利用加权潮流熵和电压冲击因子表征节点的安全重要性，结合Topic-Sensitive思想，辨识影响负荷供电和系统安全的关键节点。IEEE 39节点算例分析结果表明，所提方法可以有效辨识出电网中在负荷供电和电网安全方面起重要作用的节点，对关键节点的蓄意攻击及与其他方法的比较也表明本文所提方法的优越性。