从一道行列式的演化谈行列式的计算方法

王亚林

摘 要：行列式是线性代数中的核心内容，在线性方程组的解、矩阵的特征理论等方面的研究中扮演着重要角色。行列式的计算既是教学中的一个重点，也是利用行列式解决问题的关键。本文从一道文字行列式出发，通过行列式中元素的不同变化观察它们之间的特点，针对不同特点给出相应计算方法，凸显了行列式计算中一题多解的特性，同时也培养了从已有知识构建新知识的知识建构能力。这些探讨为今后指导教学和利用行列式解决问题奠定了一定的基础。

关键词：行列式；矩阵分解；降阶理论；知识建构

行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式，亦可看作有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。行列式是由日本数学家关孝和与德国数学家莱布尼兹在17世纪晚期提出的，它在线性代数、多项式理论以及微积分学中发挥着重要作用。计算高阶行列式往往是复杂而困难的事，但在实际教学、实际问题和理论问题中都是必须要解决的。从理论上讲，必可用行列式的性质将原行列式化为上（下）三角行列式，但这通常只对数字行列式奏效，一般的文字行列式未必能实现这一想法，因此需要另想他法。所谓文字行列式就是元素中含有未定元的行列式。

下面重点讨论文字行列式的计算。

首先，文字行列式由于其元素的未定性导致它比数字行列式更为抽象。其次，在文字行列式的计算过程中，有时需要对未定元是否取某些值进行讨论。因此给学生的认知带来一定的困惑，同时增加了学生使用行列式的性质和已有方法计算文字行列式的难度。為了解决文字行列式计算中出现的困扰，首先从一个简单的文字行列式出发，通过分析该文字行列式的特点，利用行列式的性质和一些基本的计算方法实现了它的计算。其次通过改变原有文字行列式的元素，对比新的行列式与原有行列式的异同，观察变化前后行列式计算方法的区别与联系。最后通过上述实例重点总结文字行列式的计算技巧和每种行列式计算方法的关键点。

我们先给出行列式计算中经常用到的一些性质和定理。它们的证明可参考中的相应章节。

性质1 互换行列式的两行（列），行列式変号。

性质2 行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

性质3 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则行列式为零。

性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两组数之和，则此行列式等于两个行列式之和，这两个行列式的这一行（列）分别是第一组数和第二组数，而其余各行（列）与原来行列式的相应各行（列）相同。

性质5 把行列式的某一行（列）乘以同一个数然后加到另一行（列）对应元素上去，行列式不变。

定理1：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积之和，即

下面我们从一个简单的文字行列式的实例出发，通过行列式中元素的变换，探讨文字行列式的计算方法和技巧。

例1：

分析：n阶行列式Dn有如下特点：①Dn的第i行有公因子[ai]，第j列有公因子[bj]，其中[i，j=1，2，……，n]；②Dn对应的n阶矩阵能够分解成一个n维列向量和一个n维行向量的乘积。基于特点①我们可通过行列式的性质（性质2和性质3）与加边法（升阶法）两种方法计算该行列式；特点②恰好符合Binet—Cauchy定理的条件，因此可利用Binet—Cauchy定理的结果获得此行列式的值。具体解法如下。

解：

方法一：利用行列式的性质。

方法二：加边法。

给Dn增加一行一列得到一个新的行列式[Mn+1]，有

方法三：利用Binet—Cauchy定理。

分析：例2中的n阶行列式是给例1中的n阶行列式每个元素加1得到的一个新的行列式。此行列式表面上不再具有例1中的特点①，但通过行列式的性质5处理之后部分具有例1中的特点①，类似于例1中的特点②得到了保留，同时这种变化使此行列式有了新的特点。具体如下：①Dn的第i行含有[ai]，第j列含有[bj]，其中[i，j=1，2，……，n]；②Dn对应的n阶矩阵能够分解成一个[n×2]矩阵和一个[2×n]矩阵的乘积；③每一行（列）中的元素都是两组数之和。基于特点①我们可通过行列式的性质（性质5、性质2和性质3）与加边法两种方法计算该行列式；特点②恰好符合Binet—Cauchy定理的条件，因此可利用Binet—Cauchy定理的结果获得此行列式的值；特点③满足行列式性质3的要求，籍此可采用分裂法计算此行列式。具体解法如下。

解：

方法一：利用行列式的性质。

方法二：加边法。

给Dn增加一行一列得到一个新的行列式[Mn+1]，有

方法三：利用Binet—Cauchy定理。

方法四：分裂法。

当n=1时，[D1=1+a1b1]；

当[n≥2]时，将Dn按第1列分裂成两个行列式之和，再将第一个行列式的第1列乘（-1）加到第j列，然后从第j列提取公因式[bj]（[j=2，3，……，n]），将第二个行列式的第1列提取公因式[b1]后乘（[-bj]）加到第[j]（[j=2，3，……，n]）列，有

分析：例3中的n阶行列式是给例1中的n阶行列式主对角线上每个元素加1得到的一个新的行列式。此行列式具有如下特点：①Dn的第i行含有[ai]，第j列含有[bj]，其中i，j=1，2，[……]，n；②每一行（列）中的元素都是两组数之和；③Dn对应的n阶矩阵能够写成一个n阶单位阵加上一个n维列向量与一个n维行向量的乘积。基于特点①可通过加边法计算该行列式；特点②满足行列式性质3的要求，籍此可采用分裂法计算此行列式，与例2中的分裂法所不同的是这里我们先获得该行列式的递推公式，再配合递推法获得此行列式的值；特点③恰好具有定理3的形式，因此可利用降阶定理的结果获得此行列式的值。具体解法如下。

方法一：加边法。

把Dn增加1行1列，得到一个[n+1]阶行列式[Mn+1]，有

方法二：分裂法。

将Dn按第n列分裂成两个行列式之和，再将第一个行列式按第n列展开，将第二个行列式的第n列提取公因子（[-bn]）后乘[bj]加到第[j]（[j=1，2，……，n-1]）列，有

方法三：利用降阶定理。

分析：例4中的n阶行列式可以看做例3中的n阶行列式所含元素[aibj]变成[ai-bj]得到的一个新的行列式，其中[i，j=1，2，……，n].例4与例3的这种关系为我们计算例4中的行列式提供了一定的思想，但就同一方法而言例4的计算复杂度比例3要高，甚至对例3很奏效的一些方法对于解决例4却变得很困难，例如分裂法和送取法。例4的具体解法如下：

解：

方法一：加

方法二：利用降阶定理。

例1至例4的计算涉及了行列式计算的六种常用方法：性质法、加边法、分裂法、递推法、利用Binet—Cauchy定理和利用降阶定理。这些方法的核心是行列式的性质，而运用这些方法计算行列式的核心是掌握每种方法的本质和行列式自身的特点。这里所谓的性质法主要是应用性质3的结论，一般情况下此过程需要其它性质辅助实现。加边法以定理1为理论依据，以保持原行列式的值不变为原则，以简化行列式的计算为目的，在原行列式的基础上增加一行一列的方法，一般增加的一行或一列的元素由0和1组成，此外的一行或一列的元素则要根据原行列式的特点，选择原行列式中的某些原有元素。最后，上面仅给出了计算行列式的一些基本方法，对于一些技巧性更强或针对特定形式的行列式的计算方法可参看。

参考文献

[1]屠伯埙.线性代数方法导引[M].上海：复旦大学出版社，1986.

[2]许以超.线性代数与矩阵论[M].北京：高等教育出版社，1992.