“1”在数学问题中的妙用

王嫣然

(河北省衡水中学 053000)

数学中有不少与“1”有关的关系式，巧妙运用“1”，可以将解题变得简单.很多时候“1”就象一把钥匙，往往成为解题的关键.

一、三角函数中“1”的变形

三角函数中涉及到“1”的关系式有sin2α+cos2α=1，tan45°=1，tanαcotα=1，sec2α-tan2α=1等.在具体问题中将“1”进行适当的变形可以使问题简单化.这方面的研究较多，我们仅举一个比较典型的例子.

例1 已知tanα=m，求asin2α+bsinαcosα的值(a，b，m均为实数).

二、不等式中的运用

在涉及到基本不等式的有关问题时，“1”的灵活运用比较关键，为了挖掘出定积的情况，根据“1乘以任何一个式子大小不变”，利用代换法，变换所求式子，可得到定积条件.

三、比较大小

例3 已知a>0，b>0且a≠b，比较aabb与abba的大小.

由(1)(2)得aabb>abba.

四、概率中的应用

例4 房间里有4个人，假定每个人的生日在12个月中的某一个月是等可能的，求至少有两个人的生日在同一个月的概率.

五、整式的化简求值

对整式进行化简求值，有时可以利用“1”进行恒等变形从而解决问题.

因为a+b+c=0，所以原式=-3.

六、复数中的运用

证明由题意知 1，ω1，ω2为方程x3-1=0的三个根，即为(x-1)(x2+x+1)=0的三个根，所以ω1，ω2为x2+x+1=0的两个根，ω1ω2=1.