修正的Knothe沉陷模型及FLAC3D模拟开采验证

刘玉成

(贵州工程应用技术学院 毕节循环经济研究院，贵州 毕节 551700)

对煤矿区地表上方进行沉陷观测是矿山测量的主要工作之一。沉陷观测可以取得矿区观测点的下沉量、水平移动量等沉陷参数，进而计算曲率、倾斜变形、水平变形等影响地表建构筑物稳定的重要参数。在沉陷观测中，地表观测点的垂直下沉量是最容易观测的数据，也能取得较高的观测精度，并且其他物理量均可以根据下沉量数据计算获得。进行大面积布点和长时间观测所需的人力、物力很大，因此通过有限的观测数据进行曲线拟合，并对未来趋势进行预测是很多学者的研究工作。早在1952年波兰学者Knothe提出了地表沉陷观测点下沉量序列的数学模型[1]。但大量的实测资料表明，Knothe时间函数与实际的地表下沉的动态过程不完全符合[2-4]，因为由这个模型计算出的地表下沉的加速度是负值，表明地表从一开始以一最大速度做减速下沉。事实上，地表下沉过程应该是下沉速度由0到最大再到0的过程。作者[5-6]通过对煤层开采过程中上覆岩层的移动变形的分析，提出了修正的knothe地表沉陷的时间函数模型，并用一些观测数据进行了验证，证明改进后的模型与观测数据的吻合度较好。为进一步验证修正的Knothe模型的广泛适用性，必须用整个煤层开采过程中大面积的地表沉陷观测数据进行验证，但是在煤层开采全过程中进行大面积长时间的观测，有客观条件的限制。数值模拟研究是当前各领域的重要研究手段，FLAC3D数值分析软件对于模拟岩土材料的大变形有很好的适用性，本文通过用FLAC3D模拟开采的全过程的方式，进一步验证了修正的Knothe地表沉陷的时间函数模型。

1 修正的Knothe模型

1.1 Knothe模型分析

1952年波兰学者Knothe提出的开采沉陷地表下沉量观测点位移序列的数学模型[1]：

w(t)=wm(1-e-ct)

(1)

式中，wm为地表某一点最大下沉量；c为岩性参数。设

φ(t)=(1-e-ct)

(2)

则(1)式可表示为：

w(t)=wmφ(t)

(3)

分析(2)和(3)式，当0≤t<时，φ(t)∈[0，1)，由(3)式表示的w(t)为定义域在 [0，1)上的线性函数。对式(1)求二阶导数得出下沉的加速度为负值，当t=0时加速度为负的最大，可见由Knothe模型所描述的地表下沉是一个逐渐衰减的过程，显然与事实不符。

1.2 修正的时间模型

基于以上对Knothe模型不完善之处的分析，考虑地表点下沉速度和加速度应具有的特征，试在原时间函数模型(1)式上加一个幂指数k，则Knothe模型可改为如下的形式：

w(t)=wm(1-e-ct)k

(4)

式中，k为待拟合参数。

新模型式(4)可从下沉曲线、速度和加速度3个特征分析如下，在(4)式中，令

φ(t)=(1-e-ct)k

(5)

则(4)式可表示为：

w(t)=wmφ(t)

(6)

分析(5)和(6)式，当0≤t<时，φ(t)∈[0，1)，由(6)式表示的w(t)为定义域在 [0，1)上的幂函数。

对(4)式求一阶导数得出下沉速度公式：

v(t)=φ′(t)=wmkce-ct(1-e-ct)k-1

(7)

对(4)式求二阶导数得出下沉加速度公式：

a(t)=φ″(t)=wm[-kc2e-ct(1-e-ct)k-1+k(k-1)c2e-cte-ct(1-e-ct)k-2]

(8)

令a(t)=0时，解(8)式得

(9)

将(9)式中的3个t值代入(8)式，得出：当t从0到-(1/c)(ln(1/k))时，a(t)>0，当t从-(1/c)(ln(1/k))到时，a(t)<0。这与开采沉陷地表观测点下沉的3个阶段即逐渐开始阶段、快速发展阶段和缓慢衰减终止阶段的特征相符合。在初始阶段即地表移动的启动阶段，以能观测到明显的下沉量为标志，此阶段由于下方采空区范围小，岩层移动形成的弯曲带幅度小，地表受采动影响也较小，下沉量、下沉速度及加速度逐渐缓慢地增长。在快速发展阶段，下方采空区范围越来越大，岩层移动形成的弯曲带幅度也越来越大，地表受采动影响不断扩大，下沉量、下沉速度及加速度都呈现为快速地增长，直至达到该条件下的最大值。在缓慢衰减阶段，下方采空区范围不再扩大，岩层移动形成的弯曲带基本定型，地表受采动影响维持在一个稳定的水平，下沉量继续缓慢增长，下沉速度及加速度经过较长的时间逐渐衰减为零。

1.3 作图分析

为了对修正的Knothe模型进一步研究，取某煤矿区地表沉陷观测点的最大下沉量wm为666mm，取参数c为0.006，取参数k为3，代入修正的Knothe模型公式及下沉速度公式中，取观测时间为1000d，用MATLAB软件生成下沉曲线图(图1)和下沉速度曲线图(图2)。由图可见，修正的模型作出的下沉曲线与速度曲线与实测曲线[6]的基本形态特征相符。

图1 修正的模型下沉曲线

图2 修正的模型下沉速度曲线

2 模拟开采验证

2.1 计算模型及模拟过程

为进一步验证修正Knothe模型的广泛适用性，必须用整个煤层开采过程中大面积的地表沉陷观测数据进行验证，但是在煤层开采全过程中进行大面积长时间的观测，有客观条件的限制。为了克服现场大面积观测的困难，采用广泛使用的数值模拟研究对模型进行模拟开采验证。

根据陕西铜川矿区主采煤层上覆岩层的物理力学性质[7]，进行了模拟开采。计算模型走向长度为700m，倾向长度650m，高度为290m。模型煤岩层共有16层，其中煤层上覆岩层14层，煤层埋深为258m，煤层厚度为2m，煤层倾角为28°。取走向开采尺寸为200m，倾向为100m时，可保证边界角以外的地表位移为零。给模型加9.8N/m的自重应力计算3254步，模型达到自重应力平衡状态。采用走向长壁式模拟开采，一个循环产生的采空区为2m，采完走向长度需要开挖100次。根据经验，在这种岩层和开采条件下，地表移动的启动距约为20m，开挖20m计算600次检测到地表有垂直位移，则开挖2m计算50次可保证地表不会产生垂直位移。同时经过多次试算发现每开挖一次计算50次比较合理。

本次模拟开采可获取地表观测点的下沉过程曲线，以验证修正的Knothe时间函数模型的正确性。为获得模拟开采过程中模型地表的动态沉陷过程规律，在经过开采中心的走向和倾向主断面地表布置了32个检测点，走向和倾向分别为16个，检测点的编号及坐标见图3。每个检测点可检测地表的下沉量和下沉速度。

图3 主断面监测点布置

2.2 模拟结果分析

在模拟开采的过程中，对倾向主断面编号为1～16号监测点及走向主断面编号为17～32号监测点的下沉量和下沉速度进行了监测，得到地表主断面监测点的下沉量和下沉速度与计算步数的关系曲线。因篇幅限制，只列出走向主断面上的1，5，8，11，16号监测点及倾向主断面上的17，20，32号监测点的下沉和下沉速度曲线(见图4)。图4列出的曲线体现了走向和倾向主断面上的4个边界点以及4个中间点的下沉情况。

由图4可见，用FLAC3D软件通过模拟开采研究地表沉陷的动态过程在技术上是可行的。图4所示的主断面上选取的8个监测点的下沉曲线和下沉速度曲线与修正的Knothe模型作出的下沉曲线和速度曲线在形态上具有十分相似的特征，证明改进的模型能较好地拟合地下煤层长壁工作面开采全过程中地表沉陷监测点的下沉量序列，每个监测点由于在地表平面上所处的位置不同，受地下开采影响的程度也不同，故最大下沉量和下沉速度数值虽然不同，但每个点的曲线的形态特征是相似的，说明在开采区域上方受开采影响的各监测点的下沉过程服从同一规律，并在时间和空间上呈现出相对独立性。在实际应用时，通过对监测数据进行曲线拟合，求出修正的Knothe模型中的参数c和k，进而预测地表不同点的最大下沉量和最大下沉速度。

3 结 论

(1)根据开采沉陷地表观测点下沉的3个阶段即逐渐开始阶段、快速发展阶段和缓慢衰减终止阶段非线性特征的分析，对Knothe模型进行了修正。经分析研究，修正后的模型可较好地描述开采沉陷地表下沉的3个阶段中下沉速度的变化规律。

(2)为了更进一步验证修正的Knothe时间函数模型的正确性，利用FLAC3D数值分析软件可在较短时间内进行多次大量数据摸拟计算的优点，用一个真实的煤系地层进行了模拟开采。模拟开采得出的地表下沉曲线和速度曲线与修正的Knothe模型作出的曲线在形态特征上相似，说明修正的模型能较好地描述开采沉陷的动态过程特征。

(3)随着计算机技术的发展，计算机模拟研究应成为开采沉陷研究的主要手段之一。模拟开采可简化观测手段，可克服由于受客观条件的限制而不能在煤层开采全过程中进行大面积长时间观测的困难。

图4 各监测点下沉量和下沉速度与迭代步数的关系曲线