“类比法学案设计”实例*

广东省潮州市金山中学(510000) 林妍滨

广东省广州市第十六中学(510000) 郭施敏

1、学案的学习目标

1.1 知识目标

1、借助具体实例,从生活实际问题的解决来理解在空间中建立柱坐标系和球坐标系的意义;

2、类比平面极坐标系,掌握柱坐标系,球坐标系中刻画空间点的位置和方法;

3、体会柱坐标系和球坐标系中刻画点位置的方法的差异.

1.2 能力目标

1、运用类比,理解各空间坐标系建立的意义,掌握用柱坐标与球坐标刻画空间中的点的方法;

2、通过类比,能够进行空间直角坐标与柱坐标、球坐标的互化;

3、运用类比,通过提出新问题,形成新结论,体会在极坐标系中怎样建立空间简单图形(如球心在极点的球)的方程的过程.

1.3 情感目标

通过本学案的学习,使学生认识到:知识来源于实践,又应用于实践.学习中要多思考,多探求,勇于创新.体会“类比法”在数学学习中的应用步骤和价值.

1.4 学案实例

一、“平面极坐标建立与空间柱坐标建立的类比”学案实例

_回顾旧知_______________________识建立新知识________________________平_____________________________面极坐标系 空间柱坐标系________________________________________________________________________________________________步骤一、确定相似对象1、图形特征的类比故事:假设你是地道的北京人,某天在路上遇到一个外国人问路,“鸟巢怎么走?”你会选择以下哪种方式回答?A.以北京天安门为中心原点......x轴正方向是......y轴正方向是......单位为......建立一个直角坐标系.B.以我们所站位置为基点,以正_____西方向为参照,向_____________________________________________东北方向走故事:如图,在圆形体育场内,你站在看台上的某个位置A,你的朋友站在体育场中心O上,他怎么描述你的位置呢?类比“平面的极坐标系”,如何建立“柱坐标系”.

3、几何意义类_比结合以下图形,试叙述“平面极坐标”的概念类比平面极坐标,试结合图形叙述“柱坐标”的概念.___________________________步骤二、研究共性1、各坐标间互化的性质的类比平面直角坐标与极坐标互化设点M 的极坐标为(ρ,θ),直角坐标为(x,y).写出互化的公式是:___空间直角坐标与柱坐标互化设点M 的柱坐标为(ρ,θ,z),空间直角坐标为(x,y,z).写出互化的公式是:____..习题:1、点M 的极坐标(习题:1、点M 的直角坐标(1,■),则直角坐标为( ).2、点P的直角坐标为(2,-2),则它的极坐标为( ).答案:(-1,■2,2 3 π 3,4),则柱坐标为( ).2、柱坐标为(,它的直角坐标为( )答案:2,π)6,7(3),(2■2,-π)2,5 π 3,4,(■)4设计意图 加深对极坐标与直角坐标之间的联系和区别的理解.3,1,7).设计意图 类比平面各坐标间的互化,解决空间直角坐标与柱坐标互化问题.虽然书上没有提出该类知_________________________________________________________________________________________识,但我们可以在类比中轻松掌握.__________________________步骤三、研究差异1、对应关系的类比思考1、给定极坐标 M(ρ,θ),是否在平面上可以确定唯一的一点?2、给定平面上一点,是否确定唯一的极坐标.3、极坐标 (ρ,θ) 与点是否一一对应?(提示:极径有正有负;极角有无数个.但是,有统一表达式两个,详见教材.)设计意图 意在考察“平面极坐标系内一点的极坐标可以有无穷多个”,这是由“终边相同角”及“ρ可_____取正负________________________________________________________”决定的.思考1、给定柱坐标 M(ρ,θ,z),是否可以确定空间上唯一的一点?2、给定空间中的一点,是否有唯一的柱坐标.3、柱坐标 (ρ,θ,z)与点是否一一对应?设计意图 类比“平面极坐标的性质”,研究两者的差异,加深理解柱坐标类似的性质及其限制条件,即“ρ≥ 0,0≤ θ＜ 2 π,-∞ ＜ z＜ +∞”,使问题化难为易,化繁为简.

____________________________________________________________________________________步骤四、提出新问题1、极坐标方程建立的类_比简单的极坐标方程1.极坐标方程ρ=1表示( )2.极坐标方程θ=2 3 π表示( )答案:圆心在极点,半径为1的圆;过极点的直线(ρ可以取负数时)设计意图 通过用极坐标方程表示简单图形,体会使用恰当坐标系的意义并熟悉坐标中数形结合的思想.简单的柱坐标方程1.柱坐标方程ρ=3表示( )2.柱坐标方程θ=2 3 π表示( )答案:z轴为中心轴的圆柱面,过z轴的半平面.设计意图 类比二维,扩充到三维,两者的差异一目了然,使学生掌握一些较为简单的曲线柱坐标方程.

二、“平面极坐标建立与空间球坐标建立的类比”学案实例

步_回顾旧知识_______________________建立新知识_______________________骤平面极坐标系_____________________空间柱坐标系______________________________________________步骤一、确定相似对象1、图形特征的类比操作:书上思考题P 9,某校园的平面示意图,假设某同学在教学楼A处,在已学习平面极坐标的概念后,标出A B C D E的各点极坐标.(如下图)(提示:要注意先确定极点和极轴,然后再确定每个点的极坐标)阅读:1、在航空航天领域,人们是怎样确定航天器的准确位置?(阅读材料,书上p 1 7)2、阅读相关材料,结合下图“地理上的球坐标”.思考地球上的“经度”与“纬度”如何定义?设计意图 学生通过操作已学知识的习题,对旧知识点的某些本质属性进行梳理归纳,更便于类比法的实施.设计意图 从平面由圆圈组成的极坐标到空间由球面组成的球坐标间进行类比.结合球坐标建立的实际意义,使唯度的变化更为清晰直观.__2、坐标建立的意义的类______________________________________________________________________比回顾:下图为极坐标系.1、点M 的坐标值ρ,θ分别代表什么?2、它与半径为ρ,圆心在极点上的圆周是什么位置关系?思考:下图为球坐标系.1、点P的坐标值r,φ,θ分别代表什么?2、它与半径为r,球心在极点的球面是什么位置关系?_______________________________________________________________________________________________步骤二、研究共性1、各坐标间互化的性质的类比平面直角坐标与极坐标互化设点M 的极坐标为 (ρ,θ),直角坐标为(x,y).写出互化的公式是:____空间直角坐标与球坐标互化设点 M 的球坐标为(r,φ,θ),空间直角坐标为(x,y,z).写出互化的公式是:____习题:1、化直角坐标系方程y=■2 x-x 2的极坐标方程.2、化极坐标方程ρ=2为直角坐标方程.(提示,要注重互化公式的用,要注意变形的等价性)答案:ρ = 2 c o s θ习题:1、点M 的直角坐标(1,-■3,4),则柱坐标为( ),球坐标为( ).2、点M 的球坐标为(2,3 4 π,3 4 π),(0≤θ≤π);x 2+y 2=4.(等式两边先平方再代入公式)设计意图 使学生加深用极坐标与_____直角坐标之间互___________________化的应用.2它的直角坐标为( )(提示:比较平面直角坐标和极坐标的互化应用,该题较为简单,但对于互化过程须采用“类比操作”和“类比应用”会较为简单易懂.)答案:(3,1,7).设计意图 类比平面到空间直角坐标与极坐标互化的共性.___________2,5 π)3,4;(■___________________________________________________________________________________________步骤三、研究差异1、对应关系的类_____比思考:1.平面直角坐标中的一点的坐标是否为确定值?2.平面极坐标的一点的坐标是否为确定值?设计意图 再次强调平面极坐标系下,点与极坐标是“一对多”的关系,多值性是它与直角坐标的重要区别.__思考:1.空间直角坐标中的一点的坐标是否为确定值?2.空间极坐标(即球坐标)中的一点的坐标是否为确定值?设计意图 类比平面极坐标系,明确在空间的极坐标系(即球坐标系)中,点和坐标是一一对应关系._________

2、极坐标方程建立的类_____________________________________比简单的极坐标方程1、当ρ=常数时,该极坐标方程的图形是什么?2、当θ=常数时,该极坐标方程的图形是什么?答案:1、以极点为圆心的圆周;2、过极点的射线(当ρ可取负数时为直线).简单的球坐标方程1、r=r 0(r 0为正常数),是什么图形;2、θ = θ 0(0 ≤ θ 0 ＜ 2 π),是什么图形;3、φ = φ 0(0≤ φ 0≤ π),是什么图形.答案:1、以极点为心的球面;2、过z轴,与z O x坐标面的夹角为θ 0的半平面;3、顶点在极点,半顶角φ 0的圆锥面,中心轴为z轴._______________________________________________________________________________________________步骤四、提出新问题1、应用的类比拓展创新1、怎样在平面极坐标中确定已知的圆与直线的交点?2、是否可以根据e的变化来确定椭圆,双曲线,抛物线的极坐标方程,它有什么优点?设计意图 这是拓展探究的内容,在学习了用极坐标方程表示简单曲_____线的基础上,加以深化_____________的新知识.类比创新1、如何在球坐标中确定球面与已知平面的交集?2、如何在球坐标中用两平面相交来确定其交线的球坐标方程?设计意图 利用类比法,简化了对难理解和想象的几何知识点的结构.从思考的角度和出发点进行类比创新.________________________

3.2.4 空间“柱坐标系”与“球坐标系”类比的简介

_____空_______________________________间柱坐标系空间球坐标系___________________共1、都是描述空间一点的位置;2、都是确定了极点与极轴后,通过距离和角度,用有序实数对来刻画点的位置;_____性3、都是空间中的点与坐标值一一对应的关系.________________________________________________________________________________________________________________1、实际意义_能简易地确定体育场看台上的______点方便确定航天器的准确位置______________________________________差2、几何含义___________________________

异点的坐标 (ρ,θ,z)可以看作是:在平面极坐标系的基础上,增加垂直于此平面的O Z轴,可得空间柱坐标系.要注意各坐标分量的取值范围:_____ρ≥0,0≤θ＜π__________________________________________________,z∈R.点的坐标(r,φ,θ)分别对应于:r表示“矢径”,φ表示“纬度”,θ表示“经度”.要注意各坐标分量的取值范围:r≥0,0≤φ≤π,0≤θ＜2 π.应 用思考:正三棱柱的各棱长均为1,建立如图所示的坐标系,写出它的各顶点的球坐标以及柱坐标.

上述实例以“学案”为载体,以“类比”为方法,进行导向式探究,使学生通过预先设定的路径,结合课本的知识,从理解思考和动手操作上体会类比法的具体应用价值,满足高中生自我意识发展与自我价值的体现,逐步培养学生与教材“直接对话”的能力以及发散思维的能力.

由于类比方法属于合情推理范畴,具有或然特性.因此,运用类比方法所解决的问题缺乏可靠性.其可靠程度取决于两事物的相似属性的多与少以及他们之间的相关程度.但是,类比法的“似真性”可以帮助我们发现高中数学的概念定义、规律、解题方法都有许多相关、平行的关系,我们将其有机地联系在一起进行比较教学,有助于学生掌握知识的整体性,发现和探究新问题.