突破求轨迹方程教学的难点*

广东省广州市增城区新塘中学(511340) 陈武钊

学生在遇到求轨迹方程的题目时,往往觉得难度很大,无处下手.而教师在讲授这类题目时,也多是就题论题,无法将具有一般性的思维方法教给学生.所以本文就求轨迹方程教学中遇到的难点进行研究,希望总结一些一般性的思维方法,供师生参考.

求轨迹方程题目的理论基础来源于曲线与方程的关系:

一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系(人教版选修2-1第34-35页):

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.

关系如图1:

图1

由图1可知,求轨迹方程需要经历两个阶段:

(1)由曲线C→动点M→坐标(x,y)→方程f(x,y)=0逆时针的方程生成阶段.

(2)由方程f(x,y)=0→坐标(x,y)→动点M→曲线C顺时针的方程检验阶段.

一、突破方程生成阶段

此处的难点是学生不知如何将“按某种规律运动”的条件翻译成“x、y的制约关系”.由于学生头脑中所学数学知识呈碎片化,知识网络未能构建成形.所以学生对信息的处理多是零散的,无法进行深入整合.能不能做对题基本靠灵感.

突破难点的方法是利用图1明确目标,对条件逐条翻译,用数形结合方法整合条件.

类型一、条件稀少,唯一动点

例1(人教版选修2-1第35页例1)设A、B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线.

分析将几何对象:“AB的中垂线”转化为代数表示:

例1需要学生了解中垂线上点的特征及两点间距离公式.而这两项知识呈先后使用,无需整合.例1条件较少,只有唯一动点,容易翻译.所以使用直接法就可以解决.解题过程略.

类型二、条件众多,或动点不唯一

不管是条件众多还是动点不唯一的题目,学生都容易产生无从下手的感觉.条件众多需要学生更高的整合信息的能力.而动点不唯一,会产生更多变量,要求学生有更高的数据处理能力.

例2(人教版选修2-1第37页习题2.1A组第4题)过原点的直线与圆x2+y2-6x+5=0相交于A,B两点,求弦AB的中点M的轨迹方程.

分析例2由条件①直线l过原点;②直线l与圆相交于点A、B;③M是弦AB的中点,而且有动直线l和动点A、B、M.如何将三个条件翻译成代数表示体现了不同的整合信息能力.从而会有不同的解题过程.

思路一将三个条件逐个翻译:①设直线l:y=kx.②设点A(x1,y1)、B(x2,y2).y1=kx1,y2=kx2.将“直线l与圆相交于点A、B”翻译成

思路二由条件②、③整合可知直线CM垂直于直线AB,翻译为斜率kAB·kCM=-1.由条件①可知kOM=kAB,所以kOM·kCM=-1.但解题过程中要考虑斜率不存在的情况,即直线CM垂直于x轴.

思路三由条件②、③整合可知直线CM垂直于直线AB,翻译为由条件①可知所以

思路四由条件①、②、③整合可知直线CM垂直于直线AB,△OCM为直角三角形.所以OC2=OM2+CM2.

图2

思路一从分析过程可以看到思考时完全没有用到数形结合整合条件,而是逐一把几何条件翻译成代数式,然后使用点差法消去A、B的坐标.解题过程比较繁琐,需要较高的代数计算能力和技巧.所以实际上具备这样的计算能力的学生必然能想到其他的解题方法.而不具备这样的计算能力的学生不可能完成解题全过程.但作为四种思路中唯一没有使用数形结合的思路,可以作为强烈的对比项.

思路二和三都是基于条件②、③整合的结果,但使用不同的知识来演绎.它们之间也可以作为对比,比较出斜率和向量使用的差异.

思路四是基于条件①、②、③整合的结果.这种高度的整合,给人取巧的感觉,可能不太受人重视.但它源于图形△OCM对题目的特异性(直线过原点)和一般规律(垂径定理的推论)的形象表述.所以解题过程达到了最大的简化.

通过对例2的一题多解,可以充分说明对条件的整合能力的差异导致解题过程的繁简差异.也体现了数形结合在整合过程起的巨大作用.

类型三、典型条件,典型方法

(1)待定系数法

若所求轨迹能确定直线、圆等熟知方程的曲线.可以先设含有待定系数的曲线方程,再根据条件建立方程组,解出参数得到方程.

(1)求C的方程;

(2)代入法

若从动点M(x,y)跟随主动点P(x0,y0)运动,而主动点P沿着已知方程的曲线运动.则可以利用M与P的坐标关系,代入已知方程,求得M的轨迹方程.

(1)求点P的轨迹方程;

(3)点差法

利用交点在圆锥曲线上,坐标满足方程,将焦点坐标分别代入圆锥曲线,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系.从而得到中点的轨迹方程.

例2的思路1就是用了点差法.

(4)定义法

如果定点轨迹满足已知曲线的定义,则可根据题设条件和图形的特点,寻求其数量关系,再由曲线定义直接写出方程.

例5(2016年理科数学新课标全国卷1卷)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.

(I)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;

上述四种典型方法都需要一些典型条件,所以易于辨析.只要强化训练,学生容易掌握.从近几年的全国卷来看,求轨迹方程也多是这几种类型,如例3至例5.所以教师要重点讲授,让学生形成图式.

二、突破方程检验阶段

方程检验时要注意在方程变形前后有没有等价,在翻译阶段有没有改变了限制条件.

例1的解题步骤上下完全等价,所以无需剔除点,也就不需写检验过程.

图3

总之,通过求轨迹方程的问题的难点分析,我们需要理解曲线和方程的关系.在方程生成阶段利用数形结合与等价代换的思想,整合好条件生成解题思路.其中典型条件下使用典型方法是重点训练方向,从近几年高考题目可以得到印证.在方程检验阶段比较简易的检验方法是作图、注意x、y的取值范围、注意未知数的开偶次方和做分母.