数学建模在常微分方程中的应用

赵俊萍 时文平

【摘要】常微分方程为数学专业的一门基本学科，也是数学与我们现实生活当中的实际问题紧密相连的重要性桥梁，本文主要探讨常微分方程在数学建模当中的基本应用问题以及在数学建模当中渗透常微分方程的重要性。

【关键词】常微分方程 数学模型 应用

【中图分类号】G642；O141.4-4 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）38-0138-01

1.引言

常微分方程十七世纪产生的数学专业的一门重要分支，也是应用性极强的学科，但是，在常微分方程课程的基本教学当中过分的强调其理论的严重性，忽略了其课程的综合实践问题，缺少培养同学们的亲自动手能力以及应用技能方面的能力，然而数学建模为一种解决具体问题的模型，它也是实际现象与数学理论的汇合，其内在是一项用来锻炼同学们思考和应用研究技能的方法。所以，我们可以把数学建模和常微分方程运用在一起，将数学建模思想渗入到常微分方程的教学过程中，使学生了解问题的基本运用方法，来进一步提升解决实际问题的能力，这样也可以带动学生对常微分学习的乐趣，提高同学们将常微分应用到实际问题的能力，同时也提升数学建模的分析能力。因此，在数学学习当下，数学建模的首要任务是应该成为教学的重要目标之一，还可以锻炼同学们的论文写作创造能力。

2.数学建模与常微分方程的结合

在常微分方程的学习当中，每个理论之后都会有许多具体例子，可以把一部分容易的問题应用到里面，对怎么运用数学知识描述具体问题，并且将其进行合理的分析，运用哪种理论知识和哪种常微分方程，以及把学习过的方程可以应用到的实际问题进行着重教学，将所学的教学内容与数学建模方法结合起来。

3.通过运用数学软件解决常微分方程知识

其实，在学习常微分方程中，我们首要关注的是解题方法，可是当我们在解其解时，常微分方程的图像是怎样通过时间的变化而产生改变的，这需要引入常微分方程模型的方式来对其进一步探究，但是该模型的形成过程一般是较复杂的，我们通过笔算是难以将其解算出来的，因而，这时候我们就必须运用恰当的数学软件将其数值解答出来，而且我们还可以运用该软件进行数值的模拟，这不仅能提升同学们对常微分方程的学习兴趣，也可以提高同学们应用数学建模思想解决常微分方程实际问题的能力。

4.数学建模在常微分方程中的应用

我们在学习当中能够有针对的对学术性论文进行分析与研究，可以通过当前数学建模的探究情形，把一些带有研究性质的实际问题运用到里面，运用数学建模着重解决一些实际问题的方法，从而提高学生数学科研能力，例如，在充分了解学习了常微分方程稳定性与不稳定性理论之后，能够对以下文献[1]进行较为严密讲解。在该文献[2]中分析与探究了CTL反应动力学性态，通常为了方便研究，我们能够将其进行下列假设：（1）双线性感染率表示为自由病毒粒子与易感细胞的概率；（2）状态变量A（t）、B（t）、D（t）、Q（t）是连续的，当中，B（t）代表当t时刻时，自由病毒微粒的浓度；A（t）代表在某一个时刻，CTL细胞的浓度；Q（t）代表在t时刻时，易感细胞的浓度；D（t）代表在t时刻时，已经感染病毒细胞的浓度；（3）全部的感染细胞在逐渐死亡过程当中都会有1个病毒颗粒的产生；（4）CTL细胞的增长一般都是会对激发染毒细胞很依赖，若它们两个相互接触，则会以hl的速度急剧提升；（5）一般情况下Logistic都具有繁殖增长得到健康T细胞的能力；（6）若细胞已经被感染，那么CTL免疫反应在把该细胞清理之后，通常是不可能释放病毒颗粒的，假设被清理速率是ER。通过上面的假设可以得出有关于状态变量A（t）、B（t）、D（t）、Q（t）的一个流程图。其中， β代表易感细胞与病毒微粒的接触概率；K代表易感细胞的环境容纳量，dv、dc、dT、dt所代表的分别为病毒微粒、CTL细胞死亡概率、易感染细胞与已经感染病毒的细胞；r代表的是易感染细胞的增长概率；λ代表的是在单位时间内通过分泌胸腺得到的易感染细胞的数量，因此我们可以得出病毒反应动力学的模型，如下：

dQdt=λ-dQQ+rQ（1-kQ）-βQB

dDdt=βQB-diD-PDC

5.结语

常微分方程是数学专业一门重要的学科，在很大程度上也给同学们建立起一架从理论知识通往实际问题的桥梁。在本文通过对常微分理论的研究，使我们深刻理解了常微分理论的含义，掌握了它的运算形式，提高了学生们的做题技能。本文所讲述的只是常微分方程其中的一部分，其它方面仍有待于我们做进一步的深层次研究。

参考文献：

[1]马知恩，周义仓，李承治.常微分方程定性与稳定性方法[M].2版.北京：科学出版社，2015.6.

[2]姜启源，谢金星.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2004：128-174.

[3]葛琦，侯成敏.基于数学建模的常微分方程创新教学模式探析[J].高教研究与实践，2015.