一类低碳产品时滞价格博弈模型的稳定性分析及控制
2018-11-07司凤山
王 晶, 司凤山
(1. 蚌埠学院 理学院, 安徽 蚌埠 233030; 2. 安徽财经大学 管理科学与工程学院, 安徽 蚌埠 233030)
随着经济的发展和人们生活水平的提高,购买低碳产品已成为消费者的一种偏好.为此,大力发展绿色供应链,提高产品的绿色水平迫在眉睫.学者们已从多方面对供应链进行了研究,为绿色供应链的发展提供了理论基础和应用对策.一是研究了企业的低碳生产问题,给出了提高产品绿色水平的策略[1-2];二是分析了产品的回收再制造问题,讨论了政府通过补贴和碳税等措施积极引导企业进行产品的回收和再利用[3-6];三是探究了供应链中各参与主体的决策机制问题,主要从分散决策和集中决策两方面,给出了各主体在低碳生产基础上的最优策略[7-8];四是探讨了供应链中各参与主体间的成本分担和收益共享问题,提出了通过协调机制实现绿色产品生产成本的分担和利润的共享[9-12].尤其文献[13]研究了由一个制造商和一个零售商组成的绿色供应链模型.其中,制造商负责产品生产,并批发给零售商进行销售,在此过程中制造商和零售商通过协调机制实现收益共享.文中给出的产品需求函数如下:
q=a-bp+αθ.
(1)
其中,q为产品的实际需求量;a为市场潜在的最大需求量;p为产品销售价格;θ为产品的绿色水平(或称低碳程度);b,α为敏感系数.
在分散决策下,零售商和制造商的利润函数分别为:
其中:πR,πM分别为零售商和制造商的利润;w为制造商提供给零售商的产品批发价格;c为制造商单位产品的生产成本;Iθ2是制造商为了提高产品的绿色水平而付出的成本;I为成本系数;β为收益共享系数,即零售商将1-β倍的收益共享给制造商.
文献[13]采用了优化的方法分别给出了制造商和零售商在分散决策下的最优策略.而本文将借助非线性动力学理论和系统复杂性理论,通过建立带时滞的微分价格博弈模型,分析价格博弈的动力学演化行为,探讨时滞参数对模型稳定性和决策行为的影响,以及实现博弈模型的稳定性控制,以期为制造商和零售商更好地进行价格决策提供帮助[14-15].
1 构建价格博弈模型
制造商和零售商为了追求各自利润最大化,通常依据其边际利润进行价格决策.如果边际利润为正,则它们会提高零售价格或批发价格,否则会降低相应价格.制造商和零售商的边际利润为
(4)
价格调整的动态过程为[16-17]
(5)
其中:vR表示零售价格的调整速度;vM表示批发价格的调整速度.从而得到如下的价格博弈模型:
(6)
为了决策的科学性和准确性,通常零售商在进行价格决策时不但要考虑当前的边际利润,还要考虑τ时刻之前的边际利润.这里假定零售商采用延迟策略,延迟参数为τ,而制造商不采用延迟策略[18].零售商的延迟决策价格为
pd=w′p(t)+(1-w′)p(t-τ).
(7)
其中:w′表示零售商决策时参照当前价格的权重,1-w′则为其参照t-τ时刻价格的权重;上标d表示延迟.由于当前价格不易及时准确获取,此处仅考虑零售商参考t-τ时刻的价格进行决策,故w′=0.此时,最终的价格博弈模型为
(8)
2 Hopf分岔的存在性及局部渐近稳定性
经计算可得模型(8)的盈亏平衡点为:E1(0,0),E2((a+αθ)/2b,0),E3(p*,w*).其中,p*=w*=(a+αθ)/b.即当产品的零售价格高于盈亏平衡点时,零售商获利;反之,零售商亏损.依据实际问题需要,只有正的平衡点才有意义,故只分析平衡点E3(p*,w*)处时滞参数对模型动力学演化行为的影响.
模型(8)在平衡点E3(p*,w*)处线性化部分的特征方程为:
λ2+(A1λ+A0)e-λτ=0.
(9)
其中,A1=2bβvRp*,A0=b2β2vMvRp*w*.
(1) 当τ=0时,特征方程(9)简化为
λ2+A1λ+A0=0.
(10)
根据赫尔维茨定理可知,当条件(H1):A0>0,A1>0,A1A0>0成立时,平衡点E3(p*,w*)是局部渐近稳定的.
(2) 当τ>0时,令λ=iω(ω>0)为特征方程(9)的一个根,则有:
(11)
从而得
(12)
进而有
(13)
令
(14)
(15)
下面对特征方程(9)两边求λ关于τ的导数,可得:
(16)
于是有
(17)
如果条件(H2):g(ω0)≠0,则满足产生Hopf分岔的横截条件.根据文献[19]关于Hopf分岔的存在性定理,可得如下结论:
定理1 对于模型(8),如果条件(H1)～(H2)成立,那么当τ∈[0,τ0) 时,平衡点E3(p*,w*)局部渐近稳定;当τ=τ0时,模型(8)在平衡点E3(p*,w*)处产生Hopf分岔;而当τ>τ0时,平衡点E3(p*,w*)不稳定.
3 数值仿真及分析
为了验证理论分析的正确性,选取如下一组参数:a=1.2,b=0.7,vR=0.5,vM=0.5,β=0.5,α=0.6,θ=0.8,此时模型(8)为:
(18)
(1) 当τ=0时,盈亏平衡点为E3(2.4,2.4),A0=0.176>0,A1=0.84>0,A0A1=0.148>0.因此,E3(p*,w*)局部渐近稳定.
(2) 当τ≠0时,盈亏平衡点仍为E3(2.4,2.4),ω0=0.864,τ0=1.531.根据定理1可知,当τ=τ0时,模型(18)会产生分岔而失去稳定,如图1和图2b所示.当τ<τ0时,平衡点E3局部渐近稳定,如图2a所示;而当τ>τ0时,平衡点E3不稳定,如图2c和图2d所示.
从图2中发现,随着τ从小逐渐增大直至超越临界值τ0,模型的状态则由稳定转变为不稳定,且波动幅度不断增大,从而导致价格博弈系统重返稳定态的时间越来越长.这种现象对制造商和零售商的价格决策非常不利,所以应确保时滞参数τ在一个较小的范围内变化.此外还可以看出,时滞参数τ对零售价格p的影响较大,这说明时滞对自身决策主体的影响最大.
图1当τ=τ0时,模型(18)产生分岔
Fig.1 Model (18) undergoes abifurcations whenτ=τ0
图2 时滞参数τ对模型(18)稳定性的影响Fig.2 The effect of delay parameter τ on the stability of the model (18)(a)—τ=1.45; (b)—τ=1.531; (c)—τ=1.6; (d)—τ=1.65.
再则,随着产品绿色水平θ的提高,市场对产品的需求量增大,但制造商也会为此付出更大的成本,所以制造商为了利润最大化不可无限制提高产品的绿色水平.而零售商的利润,虽然随着产品绿色水平的增加呈现线性的增长,但是制造商对θ的最优决策将导致零售商利润定格在一定的范围内,且与制造商利润相差不大.这与文献[13]的分析结论一致,如图3所示.
图3 θ对制造商和零售商利润的影响
4 稳定性控制
仿真发现,时滞τ较大时模型短时间内难以趋于稳定.例如,当τ=1.65时,模型(18)的吸引子如图4所示.从中可以看出,模型出现了一系列不稳定的周期解.为此,有必要采取措施使失稳模型重回稳定状态.本文将利用变量反馈控制法对失稳模型进行有效控制.模型(18)增加控制项后为:
(19)
其中,k为控制参数,通过调节k的值以达到控制效果.模型(19)随k演化的过程如图5所示.从图中可见,随着k的增大,模型(19)从不稳定状态转变为稳定状态,临界值为k0=0.025 13.
图4 当τ=1.65时,模型(18)的吸引子Fig.4 The attractor of the model (18) when τ=1.65
图5模型(19)关于k的分岔图
Fig.5 The bifurcation diagram of model (19) with respect tok
此时,依次取k=0.01
简言之,零售商在进行价格延迟决策时,务必确保时滞参数取值较小,否则会引起博弈模型的失稳.也就是说,参照的历史价格不是越久远越好,而是临近短时间内的历史价格才会更有效.对于不慎失稳的系统,可以采取有效的控制措施,通过调节控制参数加快系统的回稳速度.
图6 模型(19)的吸引子Fig.6 The attractor of the model (19)(a)—k=0.01; (b)—k=0.03; (c)—k=0.1.
5 结 论
本文考虑了零售商决策的滞后性,构建了带时滞的价格博弈模型.将时滞变量作为模型的分岔参数,分析了模型的局部Hopf分岔的存在性及在平衡点处的局部渐近稳定性.通过数值仿真验证了理论分析的正确性.仿真结果表明,如果时滞参数小于分岔临界值,则价格的博弈过程会趋于局部的渐近稳定,否则会引起价格的持续波动.所以,在其他参数不变的情况下,决策过程中一方面可以通过控制历史价格的参照时间确保系统的稳定;另一方面可以采取变量反馈控制法使失稳的系统尽早重返稳定状态.与文献[13]相比,一是构建了带时滞的、连续的、微分价格博弈模型;二是研究方法上采用了非线性动力学理论及复杂系统演化理论,探究了时滞参数对博弈模型稳定性的影响;三是实现了对失稳模型的稳定性控制.因此,本文的研究结果是对文献[13]的一种有效补充.
