深度学习背景下的小学数学模型建构

陈文渊

（松溪县实验小学，福建 松溪 353500）

数学模型是用数学语言概括地描述现实世界事物的特征、数量关系、和空间形式的一种数学结构。在义务教育阶段，用字母、数字及其他数学符号表达的数学的代数式、关系式、方程、函数、不等式及各种图表、图形等都是数学模型。［1］建构数学模型就是运用数学思想、数学的知识与技能去解决现实世界中实践问题的过程。在小学数学教学中，培养学生的建模思想，可以有效提升学生的数学素养，提高教学质量。教师在教学过程中应如何帮助学生建构模型，在学生深刻理解知识的同时，让学生的思维走向深刻。

一、精选问题，创设情境——建模的基础

数学模型都是具有生活背景的，这是建构模型的基础。教师应将生活中的素材及时引入课堂，将教材的内容通过生活中熟悉的事例，以情境的方式展示给学生，从而激发学生的学习兴趣，唤起学生对知识的渴望和追求。

比如在教学“路程、时间与速度”这一课时，有的教师是这样创设情境、导入新课的。

1.第一场比赛

师：昨天，我们班有三位同学为谁跑得快的问题争论不休，于是，他们举行了一场比赛，比赛结果如表1：

表1

师：从表1中你得到什么数学信息？有什么想法？

生1：我发现他们跑的时间不一样，但路程是一样的。

生2：我觉得叶××跑得最快，因为他用的时间最少。

师：也就是说，如果路程相同，比快慢只要比时间就行了。

2.第二场比赛

师：陈老师和叶××也参加了比赛，结果如下：

生3：还是叶××同学跑得快，两个人都跑了8秒，陈老师跑了48米，可叶××同学跑了50米。

师总结：如果用的时间相同，比谁快可以看路程（见表2）。

表2

3.第三场比赛

生4：陈老师和徐××跑的路程和用的时间都不相同，怎么知道谁快呢？（见表3）

表3

生5：可以比速度。

陈老师：48÷8=6（米）徐××：50÷10=5（米）6米＞5米

陈老师快。

师：这6米表示什么？5米呢？

生6：表示老师每秒跑6米，徐××每秒跑5米。

师：也可以说陈老师的速度是6米/秒，徐××的速度是5米/秒。［2］

本环节将跑步比赛这项活动引入课堂，能激发学生已有的生活经验，调动学生的学习兴趣。教师将不同的数据巧妙地蕴含在情境之中，使学生深刻体会，跑得快慢与时间和路程有关。如果时间和路程都不相同，要比速度，求速度的策略是应需而生，求速度的方法“路程÷时间=速度”这一模型也在教师的引导下一步步构建起来。

二、去伪存真，揭示本质——建模的关键

引导学生通过观察、比较、分析、抽象、概括等数学活动，剥掉外在的非本质因素，抽象出本质属性，得到模型，这是构建模型最关键的环节。

比如在教学苏教版四年级下册“乘法分配律”一课时，为了能在多变的问题情境中抓住不变的本质，笔者设计以下几个教学环节，构建“乘法分配律”的模型。

环节一：建立等式

师：（出示教师家客厅和厨房的平面图图1）一共要用多少块地砖？

图1

生1：我是这样算的，10×5+3×5，分别算出客厅和餐厅需要的块数，再相加。

生2：（出示自己画的草图）你们看，两个房间合在一起，一行要13块，要铺5行，算式是（10+3）×5。

师：这两种方法有什么不同？结果相等吗？

生2：我算过了，结果都是65块。第一种方法是分开算，第二种方法是合起来算。

生1：其实不用算也知道相等，客厅铺了10个5块，餐厅铺了3个5块，10个5加3个5正好是13个5，所以相等。

环节二：加深理解

师：出示书房和卧室的平面图（如图2），这两个房间的面积有多大？

图2

生3：6×4+6×5或（4+5）×6

师：为什么可以合起来算？

生3：因为这两个长方形各有一条边是相同的，所以可以合成一个大的长方形，将不同的边相加，再乘以相同的边。

环节三：直观感受

师：该去买地砖和墙砖了，如果墙砖买20块，每块60元，地砖买40块，每块50元，我一共要用多少元？

生4：20×60+40×50先算出墙砖的价钱，再加上地砖的价钱就行了。

生5：我认为也可以合起来算，（20+40）×（60+50）。

生6：每块的价钱不一样，两种砖的块数也不一样，不可以合起来算。

师：出现了不同的意见，为了让大家一眼看出到底可不可以合起来算，我们可以用一个长方形的长表示墙砖每块的价钱，宽表示买的块数，那么，面积表示什么？（如图3）

图3

生：表示墙砖的总价和地砖的总价。

师：现在能看出来为什么不能合在一起算了吗？

生：因为两个长方形没有一条边相同，所以不能合成一个大的长方形。

环节四：揭示本质

师：如果想要合起来算，该怎么办？

生：将题目中的条件改一改，如果买的块数一样，就可以合起来算了。

生：也可以买价格一样的砖，这样也可以合起来算。［3］

乘法分配律和其他运算律相比，结构更复杂，意义更隐蔽，对学生来说很抽象。如果只让学生记住“乘法分配律”的形，计算时，学生很容易将它和其他运算律混淆。在本节课的教学中，教师通过一个相同的长方形这一直观图示的形象支撑，将总块数、总面积、总价钱三个看似毫不相干的问题脱去生活的外衣，建立起乘法分配律的直观模型，每题中表示信息的两个长方形有一条边是相同，求面积才可以分别相乘再相加，也可以先求不同边的和再乘相同的边，使学生真正理解乘法分配律的本质特点，思维水平发生质的飞跃。

三、经历过程，浸润思想——建模的灵魂

数学思想是数学发生、发展的根本，是探索研究数学所依赖的基础，也是课程教学的精髓。因此，在建模的过程中，教师要适时渗透数学思想，增加建模思维的厚度，为学生的终身发展奠定坚实的基础。

比如在教学“口算两位数加两位数”一课时，笔者是这样引导学生解决问题的。

师：老师准备带二年级四个班的同学（各班人数如下表）去参观博物馆，每两个班同乘一辆车，请同学们当小小设计师，以小组为单位，帮忙设计乘车方案。

?

生1：（1）班和（2）班同乘一辆车，（3）班和（4）班同乘一辆车。

生2：（2）班和（3）班同乘一辆车，（1）班和（4）班同乘一辆车。

生3：（4）班和（3）班同乘一辆车，（1）班和（2）班同乘一辆车。

生4：第三种方案和第一种是一样的。

生5：方案没有写全。

师：同学们这样说，有点乱。能不能运用以前学习的排列组合的知识，来设计方案。

小组讨论后汇报：

第一种方案：（1）班和（2）、（3）班和（4）班同乘一辆车。

第二种方案：（1）班和（3）、（2）班和（4）班同乘一辆车。

第三种方案：（1）班和（4）、（2）班和（3）班同乘一辆车。

师：现在找全了吗?

生6：找全了。

师：为什么这次同学写的方案能让我们一眼就看出没有遗漏和重复的呢？

生7：因为我们是按照顺序进行排列、组合的,这样就不容易出现遗漏或重复的现象。

在以上的教学中，第一次写出来的方案是无序的，结果出现了重复或遗漏的现象，让学生感受到无序的杂乱。然后引导学生运用排列、组合的方法进行有序思考，从无序到有序。学生不仅解决了问题，还感受到有序思想的重要性，从而让思维走向深入。

四、举一反三，灵活运用——建模的延伸

用所建立的数学模型来解答生活中的数学问题，让学生体会到数学模型的实际应用价值，体验到所学知识的用途和益处，培养学生举一反三、灵活解决问题的能力，让思维走向深刻。

案例：《植树问题》教学片段

（课件出示）

师：如果有10个蘑菇，那么有多少朵花？

生1：有11朵花。可以把花想成树，把蘑菇想成间隔，就是两端都载树，棵树比间隔数多1。蘑菇的朵数+1=花的朵数。

生2：也可以把蘑菇想成树，那花就是间隔，这时，就是两端都不栽树，棵数比间隔数少1。蘑菇的朵数+1=花的朵数。

师：同学们观察的角度不一样，想的情况就不同，但是殊途同归，结果都是11朵。［4］其实生活中的很多问题都可以用植树问题来解决。比如将一根木头锯成5段，需要锯几次?

生3：需要锯四次，可以把每段长度看作间隔数，锯的次数看成树，相当于两端都不种，棵树等于间隔数减1。锯的次数=锯的段数-1。

生4：老师，我觉得昨天爬楼梯这个问题也可以用植树问题来解释，从1楼到3楼要30秒，那么，从1楼到10楼就要135秒。

生5：可以把楼层看作树，楼梯数看作间隔，1到3楼有3个楼层、2层楼梯，要30秒，爬一层楼梯要15秒，1到10楼有9个楼层，要15×9=135秒。

生6：我觉得敲钟问题也可以用这个方法来解决，如果把敲钟次数看作树，中间间隔的时间就可以看作间隔数。敲钟的次数=间隔的次数+1。

师：同学们可真能干，看来植树问题在生活中随处可见，其实解决这类问题的关键就是要明确把什么看作树，把什么看作间隔，再根据树与间隔之间的关系来解决问题。

数学模型来源于生活，也运用于生活，以植树问题为模型来解决生活中的问题，让模型更加丰满且具有生命力，同时培养了学生分析问题、解决问题的能力，深化模型的内涵，拓展模型的外延。在教师的精心引导下，学生的思维豁然开朗，举一反三的能力得到培养，数学模型的使用价值得以彰显。

总之，在小学数学课堂中，教师要将模型思想渗透于教学的过程中。要借助合适的素材，帮助学生建立有关的数学模型，不断总结建模的方法，让学生逐渐形成运用模型来解决问题的习惯和技能，为终身学习和可持续发展奠定基础。