多普勒盲区下基于GM-CBMeMBer的多目标跟踪算法

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(空军预警学院， 湖北武汉 430019)

0 引言

在机载多普勒雷达多目标跟踪(Multi-Target Tracking, MTT)过程中，多普勒盲区(Doppler Blind Zone, DBZ)的存在是不可回避的现实问题[1-3]。DBZ问题由传感器物理限制产生，当目标的径向速度小于最小可检测速度(Minimum Detectable Velocity, MDV)时，目标无法被传感器检测，这将导致目标漏检和航迹中断，严重影响跟踪性能[4]。

文献[5]提出了基于高斯混合(Gaussian Mixture, GM)的跟踪算法，它通过引入伪造量测来代表漏检，通过构造合适的状态依赖的检测概率，使其在DBZ里的检测概率值较低。然而，由此得到的高斯混合近似可能有负的权重，造成数值不稳定。文献[6]提出了“两伪造点”分配方法，其中，一个伪造量测代表对应检测概率小于1造成的漏检，另外一个额外的伪造量测代表由于DBZ引起的漏检。文献[7]基于二维分配方法，通过对来自同一目标的不同时间段航迹进行关联，提出了航迹段关联(Track Segment Association, TSA)方法。

然而，上述算法的实现涉及复杂的数据关联问题，实用性有待提高。作为一种可替代传统基于数据关联算法的方法，基于随机有限集(Random Finite Set, RFS)的多目标跟踪算法在解决DBZ问题中有着显著优势。其中，文献[8-9]分别将概率假设密度(Probability Hypothesis Density, PHD)和势化概率假设密度(Cardinalized PHD, CPHD)应用于DBZ条件下的地面动目标指示(Ground Moving Target Indicator, GMTI)跟踪。不同于PHD传递一阶矩、CPHD传递二阶矩和势分布，文献[10]提出的势平衡多目标多伯努利(Cardinality Balanced Multi-Target Multi-Bernoulli，CBMeMBer)滤波器通过传递多伯努利RFS来递推估计后验多目标概率密度。

CBMeMBer滤波器提供的“假设航迹”机制更有利于解决DBZ条件下的多目标跟踪问题，不过在CMeMBer框架下的相关研究还鲜有报道，所以本文在CBMeMBer滤波器中引入MDV和多普勒信息，并给出了其高斯混合执行，记为GM-CBMeMBer-D-MDV。仿真结果表明，所提滤波器能有效地改善DBZ下多目标跟踪性能。

1 CBMeMBer滤波器

1.1 预测步

(1)

(2)

(3)

1.2 更新步

(4)

Mk|k-1=Mk-1+MΓ,k

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

ψk,z(x)=gkz|xpD,k(x)

(10)

式中：pD,k(x)为目标检测概率；Zk为k时刻量测集合；κkz为杂波强度；gkz|x为目标量测似然函数。

2 带最小可检测速度和多普勒信息的GM-CBMeMBer滤波器

2.1 并入最小可检测速度的检测概率模型

(11)

(12)

(13)

目标检测概率pD,kxk是关于目标状态的函数，并且受DBZ强烈影响。具体而言，当nc

pD,kxk≈pD1-exp-nc(xk)/MDV2·ln2

(14)

式中，pD为目标远离DBZ的检测概率值。

(15)

式中，伪量测函数yf和伪量测矩阵Hf分别为

(16)

n1,n2,n3,n4,n5,n6T

(17)

将式(15)代入式(14)，进一步化简得到检测概率的高斯形式：

(18)

2.2 GM-CBMeMBer-D-MDV更新公式

(19)

(20)

在推导GM-CBMeMBer-D-MDV的更新公式的过程中，利用了下述两个引理[12]：

引理1：给定适当维度的H，R，m和P，且R和P是正定的，则有

Nz;Hx,RNx;m,P=

Nz;Hm,SN(x;m+G(z-Hm),P-GSGT)

(21)

式中，S=HPHT+R，G=PHTS-1。

引理2：给定适当维度的F，Q，m和P，且Q和P是正定的，则有

N(z;Fm,Q+FPFT)

(22)

假设目标xk-1在k时刻存活，则xk-1转移到xk的概率转移密度函数为

fk|k-1(xk|xk-1)=N(xk;Fk-1xk-1,Qk-1)

(23)

式中，Fk-1为状态转移矩阵，Qk-1为过程噪声协方差。

对于多普勒体制雷达，式(10)中的量测似然函数gk(z|x)可以建模为

(24)

式中，z为k时刻的常规量测，包括位置量测yc和多普勒量测yd，且两者不相关，Hc,k为线性位置观测矩阵，Rc,k为位置观测噪声协方差，σd为多普勒观测噪声标准差，hd,k(x)为式(11)的非线性多普勒观测函数。

(25)

将式(18)的检测概率模型和式(24)的似然函数代入式(4)中，连续使用两个引理得到GM-CBMeMBer-D-MDV的更新公式：

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

式中，伪量测增益和伪量测新息协方差分别为

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

式中，位置量测增益和位置量测新息协方差分别为

(43)

(44)

多普勒量测增益和多普勒量测新息协方差分别为

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

式中，伪量测增益和伪量测新息协方差分别为

(52)

(53)

κk(z)=κc,k(yc)κd,k(yd)

(54)

(55)

(56)

(57)

式中，κc,k(yc)为位置分量杂波强度，κd,k(yd)为多普勒杂波强度。

此外，伯努利RFS和高斯分量随着时间迭代不断增加，如果不对其进行有效的管理，将严重影响滤波器运行效率，所以在完成更新步骤后，还需要进行“剪枝合并”操作[10]。

下面有3点值得注意：

1) 当MDV=0且cf=0时，GM-CBMeMBer-D-MDV变为带多普勒量测的GM-CBMeMBer，简记为GM-CBMeMBer-D。

3 仿真与分析

为了验证所提滤波器的有效性，在相同参数下比较GM-CBMeMBer，GM-CBMeMBer-D和GM-CBMeMBer-D-MDV三种滤波器的跟踪性能。

基于上述参数设置，图1给出了传感器和目标的真实航迹，图2给出了MDV=1 m/s条件下各时刻目标多普勒速度与DBZ的关系。由图2可知，因为目标多普勒速度值小于MDV，所以目标2和目标1分别在43～52 s和59～63 s处于DBZ。图3给出了MDV=1 m/s条件下3种滤波器单次跟踪结果比较，通过比较可知，当目标离开DBZ，仅GM-CBMeMBer-D-MDV能够再次跟踪目标。

(a) 目标1

(b) 目标2图2 各时刻目标多普勒与DBZ的关系

图3 单次跟踪结果比较

图1 传感器和目标的真实航迹

利用圆位置误差概率(Circular Position Error Probability, CPEP)[13]和最优子模式分配(Optimal Sub-Pattern Assignment, OSPA)[14]比较3种滤波器的跟踪性能。其中，CPEP可以反映滤波器对目标的“漏跟”概率，定义为

(58)

令位置误差半径r=20 m，OSPA的阶参数p=2，截止参数c=20 m。在MDV=1 m/s条件下进行1 000次蒙特卡洛仿真，图4和图5给出了3种滤波器的CPEP和OSPA总误差统计结果。由图4可知，在43～52 s阶段，目标2处于DBZ内，而目标1处于DBZ之外，所以3种滤波器均无法跟踪目标2，但都能跟踪目标1。因此，3种滤波器在这段时间的CPEP均保持在0.5左右，而图5中3种滤波器的OSPA总误差都处于较高的值，约为15 m。当目标2在第53 s离开DBZ后，GM-CBMeMBer-D-MDV能够再次跟踪目标2，对应的CPEP和OPSA总误差回到目标2进入DBZ前的水平。但是GM-CBMeMBer和GM-CBMeMBer-D无法有效保存处于DBZ内的目标状态，当目标2处于DBZ内，传感器无法获得目标量测，所以更新步骤结束后，多伯努利RFS的存在概率逐渐减小直至低于门限P，最后在“剪枝合并”过程中被删除。目标2离开DBZ后，GM-CBMeMBer和GM-CBMeMBer-D无法再次跟踪目标2，所以它们的CPEP和OPSA总误差分别继续保持在0.5和15 m左右。类似地，在59～63 s阶段，目标1处于DBZ内，此时GM-CBMeMBer和GM-CBMeMBer-D均无法跟踪两个目标。因此，它们的CPEP和OSPA总误差进一步升高到1和20 m左右。当目标1在第64 s离开DBZ后，GM-CBMeMBer和GM-CBMeMBer-D的CPEP和OSPA总误差继续维持在1和20 m左右，说明它们均无法再次跟踪目标1。而GM-CBMeMBer-D-MDV的CPEP和OPSA总误差减小到目标1进入DBZ前的水平，说明其能够再次跟踪目标1。

图4 3种滤波器的CPEP比较

图5 3种滤波器的OSPA总误差比较

4 结束语

针对DBZ条件下机载多普勒雷达对目标航迹跟踪不连续的问题，提出了带最小可检测速度和多普勒信息的GM-CBMeMBer滤波器(GM-CBMeMBer-D-MDV)。该滤波器首先将带MDV的检测概率模型代入CBMeMBer中，然后给出其详细的预测和更新步骤。蒙特卡洛仿真实验结果表明，相对于未并入MDV信息的GM-CBMeMBer和GM-CBMeMBer-D，GM-CBMeMBer-D-MDV能够有效处理DBZ条件下的多目标跟踪问题，提高DBZ下机载多普勒雷达多目标跟踪性能。