高中数学中的审题学习

摘 要：读题审题是现代高中数学的教学中，一个很重要的问题。而“恒成立”是高中数学的一个热点，难点问题，值得探讨。本文以高中数学中“恒成立”问题不同的出现形式：恒正恒负问题、定义域问题、根与交点问题，示范如何从题目中找思路。同时辅以对应实例，具体探讨如何去思索。

关键词：审题；恒成立；函数

高中数学的学习，一直是很多人头疼的问题。究其原因，读不懂题，对于数学题干中的信息，不会审题，或者叫没有审题能力，是一个非常重要的因素。因此，笔者准备重点从数学的审题出发，说一说自己的想法。下面以函数的恒成立问题为例，简单谈一谈。

一、 “恒成立”问题中的，恒正恒负问题

我们在数学学习中，常常会遇见“f（x）恒大于0”，“f（x）恒为负”之类的字眼，那么究竟如何理解这样的字眼，预解决问题，当先读好题。作为函数f（x），所谓的恒大于0，就是指在它的定义域内能取到的函数值，都应当比0大，也可以解读为恒为正。那么我们只要能够找到定义域上的最小值，使得最小值大于0，而其他的函数值比最小值要更大些，自然也都大于0了。下面我们看一个具体的实例。

例1 x∈[1，2]，12x2-lnx-a≥0，求a的取值范围。

这个问题，是典型的“恒大于0”的问题，要求在定义域[1，2]上，对于函数f（x）=12x2-lnx-a的函数值，都是正数。函数f（x）只要最小值能夠大于或等于0，那么本题就划归为了fmin≥0的问题。

下面，就是来求f（x）的最小值。对于这样的函数，我们可以通过求导判断单调性，极值点，最值点来找到这个最小值。在区间[1，2]上，导数大于零，f（x）为增函数。所以，最小值fmin=f（1）=12-a≥0，易得a≤12。

例1（变形）x∈[1，2]，12x2-lnx-a≤0，求a的取值范围。

这个问题，先不急着下手，读好题，这个题就是上面的问题。作为一个函数，我们只需要该函数在定义域内的最大值fmax小于或等于0就可以了。fmax= f（2）=2-ln2-a≤0就可以了，易得a≥2-ln2。

这类问题，我们只要能够在审题上做好文章，找准目标，很容易得出结果。

例2 f（x）=x2+2ax+3，g（x）=-2x2+4，x∈R，都有f（x）≥g（x），求a的取值范围？

这个问题，乍一看是两个函数在比较大小，但我们仔细读题，会发现f（x）≥g（x），就是f（x）-g（x）≥0在R上恒成立，这样，我们带入计算记F（x）=f（x）-g（x）=3x2+2ax-1≥0恒成立，就变成了我们前面例子所讨论的问题了。

我们只需要F（x）的最小值Fmin≥0就可以了，易得Fmin（x）=F（-a3）=a23-2a3-1≥0，

解得a∈（-∞，-1）∪（3，+∞）。

分析：这个问题，审题是很重要的，如果上手就是对两边求值，恐怕路就走远了。学习数学，读懂题、审好题，才是打开问题之门的钥匙。

二、 进一步读题转换

需要理解支撑的读题问题，还有很多，下面我们再说一例子：

例3 已知函数f（x）=kx3-3（k+1）x2-k2+1（k>0），若f（x）在区间（0，4）上单调递减，求k的取值。

这个问题，在解决问题时，我们应当尽快地把问题转化为当x∈（0，4）时，f′（x）=3kx2-6（k+1）x≤0恒成立。这样，我们就可以模仿前面的思路，去解决这类问题。可以记g（x）=3kx2-6（k+1）x≤0，只需要最大值gmax≤0即可。那么我们通过求导找到gmax=g（k+1k），其中对称轴x=k+1k∈（1，2）（0，4）。以此模仿前面所提的方法，可以很顺利地解决问题，笔者这里不再赘述。

这个问题，必须能很好地理解什么叫做单调递减，才能把题读懂，认清。遇到题目，不要急于下笔，冷静分析！

三、 “恒成立”对于函数的根，函数与函数的交点问题的解决

例4 求函数f（x）=x3-x2-x+3m与x轴有几个交点？

读完题，我们要问自己这样一个问题，什么叫有几个交点？这个问题我们可以通过求导，求出函数的极值点，并画出大致草图。但由于m值的不确定，图像时可以上下平移的。准确地说，是极值点的位置，影响了我们函数图像与x轴的交点个数，很容易分析出，m满足不同值的时候，图像和x轴有几个交点的情况是不同的。当极大值的位置在0的下方或极小值的位置在0的上方，则函数与坐标轴只有一个交点；当极大值和极小值出现一正一负的情况，函数与坐标轴应该有三个交点，；而当极大值或极小值恰有一个为0时，那么函数与坐标轴的交点恰为2个。

（变式1）求函数f（x）=x3-x2-x+3m与y=1有几个交点。

这个问题，和前面的原题比较，只是在与哪一条水平线相交的问题上有所改变。与x轴交点就是y=0的交点，现在实际变成了与y=1的交点问题，也就是极值点不再和0比较大小，而是和1比较大小，重新确定m的取值，来确定图像的走势。

（变式2）求函数f（x）=x3-x2-x+3m与y=a恰有2个交点，求a的取值

这个问题实际是刚才活动的细化，拓展。考察这类问题的方法，拿极值点与a比较大小并能顺利地拿下问函数图像交点问题。

（变式3）求函数x3-x2-x+3m=0的根恰有一个，求m的取值。

这个问题，应该说比刚才的活动上升了一个层次，已经从导数与函数的问题，扩展到导数与方程的问题，应该说在这个问题上，学生开始有所糊涂，或者不敢轻易下笔，对思维上要求比较高。那我们就必须从函数与方程的关系来考虑问题，所谓的方程的根的个数，就是其对应函数与x轴的交点的个数。

审题读题问题，应该说已经上升到一个学习数学能力的问题，绝不是一蹴而就。而是需要我们不断地努力训练，有意识的做这件事才能成功！而恒成立问题，也是高中数学的一个热点问题，一系列的变换下来，感受此类问题如何读题，如何把控函数。

作者简介：

史赢，江苏省南京市，南京市秦淮区文枢高级中学。