基于贝叶斯判定的反演域岩石物理交会

李春鹏

(中海油研究总院有限责任公司，北京 100028)

0 引言

岩石物理是连接岩石物性参数和岩石弹性参数的桥梁，岩石物理交会的横坐标和纵坐标是纵波速度、横波速度、密度、拉梅参数、杨氏模量等岩石弹性参数，交会对象是岩石岩性、流体性质等岩石物性[1-7]。同一种交会对象可能用一种弹性参数就能分辨，或者需要几种弹性参数联合分辨[8-9]。若是前者，只需要在反演的这一种弹性参数数据体上就可以分辨出所研究的岩石物性；而后者，则需要将这几种弹性参数进行旋转或组合等运算，以期用一种参数分辨所研究的岩石物性，这主要是由于在多个数据体上难以直观地分辨出所研究的岩石物性，但是通过旋转或运算得到的参数的物理意义并不明确，而且有时也很难给出一个较好的运算关系来获得这种参数。另外，同一种交会对象在交会图上可能会完全分开，也可能会有部分重叠区域，则重叠区域的岩石物性是难以直观地辨别的。

常规岩石物理交会使用的是测井域的数据，即岩石岩性、流体性质等交会对象来自于测井综合解释，纵波速度、横波速度、密度等交会参数来自于测井数据换算。但是反演的弹性参数数据体不仅有测井信息，还有地震信息，甚至还参杂了噪音信息[10-12]。测井域数据相比于反演的地震域数据有四个特点：①高垂向分辨率；②低横向探测范围；③高纵横波激发频率；④深度域数据类型。

普通测井垂向分辨率是0.125 m，成像测井垂向分辨率能达到0.025 4 m，但是地震数据垂向分辨率却是几米至二三十米不等[13-14]。测井数据垂向分辨率明显高于地震数据，测井研究的是小尺度地层，地震研究的是中等-大尺度地层。

测井横向探测范围与声波声源的激发频率、波形的记录时长有关，常规声波测井探测范围是25 m左右，有的改进仪器也只能达到70 m左右[15]，但是地震数据横向探测范围可以达到几十公里甚至上百公里，地震测线越长，其横向探测范围越大[14]，测井数据横向探测范围明显低于地震数据。因此可以结合测井数据和地震数据的各自优点，以满足地下地层垂向和横向探测精度的需求。

测井声波声源激发频率约为2 kHz～ 5 kHz[13,15]，地震波激发频率只在几赫兹到几十赫兹之间分布[14]，测井声波激发频率是远高于地震波的。测井数据是在深度域采样的，其采样间隔有0.152 4 m、0.125 m等[13]，但是地震数据是在时间域采样的，其采样间隔有4 ms、2 ms等[14]，时间域数据和深度域数据需要通过速度来互相转换。因此，岩石物理交会的输入数据和地震反演的输入数据并不是完全匹配的，它们之间还存在着一定的误差。

另外，地震反演理论其实是一个近似的理论，它是将Zoeppritz方程线性化简得到的，典型的有Aki-Richard近似方程、Shuey近似方程、Swan近似方程等[14]。这些近似方程只在入射角30o以内与Zoeppritz方程有较好的匹配关系，因此地震反演结果还存在一定的理论误差。地震反演的目标函数还有多个解法，例如最小二乘法、最小长度法、共轭梯度法等[16]，每一种解法得到的反演结果在某些细节上都会有一些不同，因此地震反演结果还存在一定的算法误差。

综上所述，在多个弹性参数数据体和重叠的岩石物理交会图上，是难以直观地辨别岩石物性的，并且测井域弹性参数和反演域弹性参数还存在一定的不匹配。因此，笔者研究了基于贝叶斯判定的反演域岩石物理交会方法来解决上述问题，通过实例分析，证明该方法可以用来指导反演的弹性参数数据的物性解释。

1 基于贝叶斯判定的岩石物理交会

1.1 贝叶斯判定法

x∈πi，如果x落在Ri(i=1,2,…,k)内。

假设C(j|i)为样品x来自总体πi而误判为总体πj的损失，这一误判的概率记为P(j|i,R)(j≠i;i,j=1,2,…,k)。为了应用方便，规定C(i|i)=0，于是有

(j≠i;i,j=1,2,…,k)

(1)

i=1,2,…,k

(2)

其中

(3)

如果C(j|i)=1-δij，其中

i=1,2,…,k

(4)

1.2 岩石物性贝叶斯判定

同一种岩石物性可能需要几种岩石弹性参数分辨出来，有时该物性的各种子类还互相重叠，这就需要贝叶斯判定法来辨别该物性的各种子类。H工区A井的碎屑岩岩石岩性有两种子类，即k=2，分别是泥岩和砂岩。根据测井综合解释和测井曲线换算，可以获得井眼处的岩性解释结果和弹性参数曲线。若泥质含量大于50%，则岩性为泥岩，否则为砂岩。据此可以进行以岩性为对象的岩石物理交会分析(见图1)。

若要判定由反演的vp、vs、ρ组成的样品集x1、x2、…、xn属于哪种岩性，则需要计算泥岩和砂岩的分布密度pi(x)和先验概率qi。

图1 A井岩石岩性交会图Fig.1 Lithology crossplot of well A(a)纵波速度和横波速度交会图；(b)纵波速度和密度交会图

图2 A井砂岩和泥岩的频率柱状图和概率分布图Fig.2 Frequency bar charts and probability distribution images of P-velocity, S-velocity and density of sand and shale of well A(a)A井砂岩的纵波速度;(b)A井砂岩的横波速度;(c)A井砂岩的密度;(d)A井泥岩的纵波速度;(e)A井泥岩的横波速度;(f)A井泥岩的密度

以上描述了2种岩性的3种弹性参数岩石物理交会的贝叶斯判定，即2总体3维分布的贝叶斯判定。不失一般性，上述方法也可以推广到k种岩石岩性或流体性质的n种弹性参数的贝叶斯判定，即k总体n维分布的贝叶斯判定。

图3 A井岩石岩性深度分布图Fig.3 Lithology distribution of well A in depth domain

2 反演域岩石物理交会

测井域弹性参数和反演域弹性参数并不是完全匹配的，图4是A井测井域和反演域的弹性参数曲线对比结果，反演域弹性参数曲线虽然能够反映测井域弹性参数曲线的变化趋势，但却不能反映测井域弹性参数的某些细节，并且密度项反演结果误差较大，因此用测井域岩石物理交会结果来指导反演域弹性参数的解释可能会存在一定的问题。

图5是A井测井域和反演域的岩石岩性交会图，图5中测井域和反演域的纵波速度-横波速度的交会结果，都显示泥岩位于砂岩之上，但是反演域交会结果存在更大的离散，并且二者的纵波速度-密度交会结果的趋势也不一样。反演曲线由于受到噪音、反演方法、地震分辨率等因素的影响，反演曲线的分辨率和分辨力相对较低，同时密度曲线反演结果一向较差，因此反演域交会结果相对会更加离散，速度-密度交会趋势会有别于测井域的结果。不可否认，测井域岩石物理交会结果优于反演域岩石物理交会结果，这是由测井曲线的高分辨率、高信噪比特性决定的。但是反演曲线和测井曲线却不一样，测井域岩石物理交会结果再好，也不能完全体现反演域数据的特征，而储层预测和流体识别使用的正是反演域的数据。

图4 A井测井域和反演域弹性参数曲线对比Fig.4 Comparison of elastic parameters between logging field and inversion field of well A

因此应该利用井眼附近的反演域弹性参数来做岩石物理交会分析，以指导反演域本身的弹性参数数据体的解释，这很好地避免了测井域与反演域因各行其是而导致的数据不完全匹配的问题。

砂岩协方差矩阵

图5 A井测井域和反演域的岩石岩性交会图Fig.5 Lithology crossplots of well A in log domain and inversion domain(a)纵波速度和横波速度岩性交会图；(b)纵波速度和密度的岩性交会图

图6 A井测井域和反演域频率柱状图与概率分布图Fig.6 Frequency bar charts and probability distribution images of elastic parameters of sand and shale of well A in log domain and inversion domain(a)砂岩纵波速度;(b)砂岩横波速度;(c)砂岩密度;(d)泥岩纵波速度;(e)泥岩横波速度;(f)泥岩密度

通过A井所在工区的地震反演，可以得到纵波速度、横波速度和密度数据体，然后结合测井域和反演域岩石物理交会的贝叶斯判定结果，来预测该工区目的层岩性。B井和A井属于同一个工区，首先提取B井井眼处反演纵波速度道、反演横波速度道和反演密度道，然后将这三道数据分别代入A井的测井域贝叶斯判定公式和反演域贝叶斯判定公式，据此判定B井井眼处的目的层岩性，判定结果见图7。

图7中测井域和反演域的贝叶斯岩性判定可以识别较厚的岩石，但是对较薄的岩石识别效果较差。对于厚层岩石，测井域曲线和反演域曲线的特征都比较稳定，都能被二者较好地识别，但也存在一些差别，反演域贝叶斯判定结果略好于测井域贝叶斯判定结果。对于薄层岩石，A井的测井域岩石物理规律难以指导B井的反演域测井曲线的岩性识别，同时A井的反演域岩石物理交会结果，由于受限于反演分辨率也不能很好地指导B井的反演域测井曲线的薄层岩性识别。

图7 B井岩性的测井域和反演域贝叶斯判定结果Fig.7 Bayesian decision result of lithology in logging field and inversion field of well B

B井的测井域贝叶斯判定的正确率是65.7%，反演域贝叶斯判定的正确率是76.6%，说明反演域岩石物理判定比测井域岩石物理判定有更高的正确率。因此，地震反演的弹性参数数据体应该利用反演域岩石物理交会的贝叶斯判定方法，来解释它们所表示的地球物理意义。

3 结论

岩石物理交会的物理意义，是建立弹性参数与岩石物性之间的联系以指导弹性参数的物性解释。通过贝叶斯判定可以将多个弹性参数结合起来，共同判定弹性参数所反映的岩石物性。测井域岩石物理交会是面向对象的岩石物理交会，测井域弹性参数和反演域弹性参数虽然很相似但毕竟不是同一个对象；而反演域岩石物理交会是面向结果的岩石物理交会，可以准确地建立反演域弹性参数和岩石物性之间的联系。反演域岩石物理交会的数学本质是归纳分析，通过对特例的分析引出普遍结论的一种推理形式，即通过建立井眼处的反演域弹性参数与岩石物性之间的联系，来指导反演域整个弹性参数的物性解释。因此，该方法提高了反演数据的容错能力，例如地震反演中地震数据的噪音会使反演结果出现误差、密度项贡献最小会使密度反演结果误差最大，但是通过反演域岩石物理交会，也可以建立该反演结果与岩石物性之间的联系，然后根据贝叶斯判定法来指导该反演结果的物性解释。