起算点对GPS静态控制测量成果的影响分析

胡德承，刘汉清，徐亚楠

(汕头职业技术学院，广东 汕头 515078)

1 引 言

GPS静态定位技术在高精度控制测量中具有广泛的应用。GPS静态控制测量是通过在多个测站上进行同步观测，建立GPS基线向量网，对GPS基线向量网进行网平差获得参考坐标系下的坐标。在GPS网二维约束平差中，加入起算控制点(以下简称起算点)的目的就是为了求得投影变换获得的WGS84坐标系下的平面坐标与参考坐标系下平面坐标的转换参数。因此，起算点在GPS静态控制测量平差处理中起到关键作用。

基于起算数据不存在误差，施闯等提出了基线向量作为平差观测量的显著性、相关性统计检验方法[1]，对控制成果的影响进行了深入的研究。一些专家学者就起算数据对GPS静态控制测量成果的影响也进行一些探讨，如王天仓探讨了起算点个数与分布对GPS静态控制测量的影响[2]；纪亦君、刘兵探讨了起算点误差对基线向量的影响[3，4]；张兵、傅晓明等探讨了起算点的兼容性及分析方法[5，6]；刘振华、梁武南探讨了起算点粗差的探测与定位方法[7，8]。本文通过GPS网平差实例，全面分析了起算点数量、分布、坐标数据粗差对GPS静态控制测量成果的影响，并探讨了基于2个起算点二维约束平差的比例因子分析、检核点点位较差分析的起算点粗差定位方法。

2 GPS控制网平差的原理及起算点粗差检验方法

2.1 GPS控制网平差的原理

GPS控制网平差的原理[1]是：首先通过基线解算获得基线向量解作为观测量，基线观测量组成GPS网，然后对GPS网进行三维无约束平差，获得WGS84坐标系下的三维坐标，通过投影变换获得平面坐标，最后，通过二维约束平差求得相似变换参数(平移量、旋转角度、缩放因子)，采用相似变换的方法得到参考坐标系下的坐标。

起算点数据是将三维无约束平差获得的WGS-84坐标系下的三维坐标，通过二维约束平差转换为用户需要的参考坐标系下坐标的必备数据和依据。平面坐标的相似变换模型为：

x2=△x+k(x1cosα-y1sinα)

y2=△y+k(x1sinα+y1cosα)

(1)

式中，△x、△y为平移参数，α为旋转参数，k为尺度参数；x1，y1是WGS-84椭球的平面坐标；x2，y2是参考坐标系下的坐标。

2.2 起算点粗差检验方法

在式(1)中，起算点的坐标数据是作为求解相似变换模型4参数的观测量。在数理统计中可以通过假设检验推断观测量的统计特性。在测量平差数据处理中，一般通过方差检验的方法检验观测量是否存在粗差。方差检验的方法主要有F检验法和χ2检验法。

F检验法：用于检验两个正态母体的方差是否相等。

GPS控制网平差处理常采用χ2检验法。下面介绍χ2检验法：

χ2=VTPV～χ2(f)

(2)

(3)

3 GPS静态控制网实例简介

某工程测量项目四等GPS静态控制网由52个点、242条基线组成，观测时段长度大于 45 min，每点至少观测2个时段。

每条基线以双差固定解作为最终结果，基线解的单位权中误差RMS最大为 0.017 7 m、整周模糊度检验倍率RATIO最小为2.1，满足四等GPS静态控制网基线向量解的单位权中误差RMS<0.02 m、整周模糊度检验倍率RATIO>1.8的要求。

310个同步环闭合差相对误差最小值为 0.04 ppm，最大值为 5.17 ppm；21条重复基线的长度较差最大为 34.3 mm，限差为 99.2 mm；179个独立环闭合差相对误差最小值为 1.15 ppm，最大值为 27.11 ppm。

三维无约束平差最弱边边长中误差为 ±14.7 mm，相对中误差为 1∶385 287；最弱点点位中误差为 ±15.8 mm。χ2检验通过。

上述数据处理结果均满足规范的要求，说明作为GPS网三维无约束平差的观测值——基线向量不存在粗差，整网内符合精度良好。并且该四等GPS级网总共有7个具有参考坐标系(1980西安坐标系)坐标的起算点，为GPS网二维约束平差以及起算点数据对平差成果的影响分析提供了充分条件。

4 起算点数量及分布对GPS控制成果的影响

要将WGS-84椭球的平面坐标转换为参考坐标系下的坐标需求得4个参数，即2个平移参数，1个旋转参数，1个尺度参数。只需知道2个点的参考坐标系下的坐标即可求得上述4个参数。因此，GPS控制网中具有参考坐标系下坐标的起算点数量至少是2个。而《全球定位系统(GPS)测量规范》(GBT 18314-2009)、《卫星定位城市测量规范》(CJJ 73-2010)均要求联测控制点不少于3个。这是因为GPS网二维约束平差是利用最小二乘法进行求解的。最小二乘法是有多余观测量的基础上通过最小化误差的平方和寻找待求参数最优解的一种数学方法。因此，GPS控制网中起算点数量应不少于3个。

对于起算点的分布，《卫星定位城市测量规范》(CJJ 73-2010)要求起算点应均匀分布，而《全球定位系统(GPS)测量规范》(GBT 18314-2009)未对起算点的分布做出具体要求。

通过平面坐标的相似变换模型求解4个转换参数只需知道2个起算点的两套坐标即可。对于2个平移参数来说，只要2个起算点的精度相同，起算点的远近、方位都不会对平移参数的求解精度产生影响。而对于旋转参数、尺度参数来说，相同误差的2个起算点相距越远，求解得到的旋转参数、尺度参数的偏差就越小。因此起算点间相距越远越有利于提高旋转参数、尺度参数的解算精度。

表1列出了上述实例不同起算点分布状况对GPS网平差结果的影响比较。

起算点分布对GPS控制成果的影响比较表 表1

从表1可以看出，起算点全部集中在网的一侧时成果精度好的更好、差的更差，离起算点集中分布区域越远的点精度越差；起算点分布均匀但网周围没起算点时成果精度有所降低。由此可知，要保证GPS控制网中所有点的坐标转换精度，起算点应均匀分布于控制网周边。所以，在GPS控制网二维约束平差中起算点个数应在3个以上，且均匀分布于控制网的周边。随着控制面积的增大，从已知控制点中选取的起算点数量可以适当增加。

5 起算点粗差对GPS控制成果的影响

经典的测量控制网平差理论是建立在观测量存在误差而起算点不存在误差的基础上的。对于GPS网约束平差而言，如果所引入的起算点坐标数据有粗差，势必对测量控制网平差成果产生不利的影响。由于最小二乘法并不抗差，如果起算点中包含有粗差，就会分配到计算的转换参数中，最终影响到控制网点的坐标[8]。

我们将实例中一个起算点坐标x、y各加上 0.5 m的粗差，对包含这个粗差起算点的不同数量起算点组合进行二维约束平差，平差成果中的基线中误差、点位中误差、缩放因子以及χ2检验的情况如表2所示。

起算点粗差对GPS控制成果的影响比较表 表2

从表2可以看出，起算点在3个以上且部分起算点存在粗差时，χ2检验不通过，基线中误差、点位中误差明显偏大，比例因子也出现异常；2个起算点且其中1个点存在粗差时，基线中误差、点位中误差没有出现异常，χ2检验也通过，但比例因子出现了异常。因此，在GPS静态控制测量中，起算点存在粗差必然导致基线中误差、点位中误差、比例因子的异常以及χ2检验不通过，这说明起算点中存在粗差但无法确定哪些起算点存在粗差。

6 起算点粗差的定位方法

在GPS静态控制测量中，起算控制点存在粗差将引起所在基线另一端点点位的平移和基线向量分量的变化。这种变化主要表现在基线误差的增大、点位误差的增大和比例因子的异常。可见，如何探测并剔除粗差是提高控制网精度和可靠性的关键[7]。下面通过模拟粗差的方法对2个起算点不同组合方案的二维约束平差结果中比例因子、检核点点位较差的比较分析，探讨起算点粗差定位的方法。

6.1 尺度因子分析法

2个起算点进行约束平差时，起算点存在粗差必然引起比例因子的异常。据此可以通过尺度因子分析法进行起算点粗差探测与定位。

(4)

由此计算得工程测量中各等级GPS网比例因子的数值范围如表3所示。

在上述四等GPS控制网实例中，将已知点A4点坐标x、y各加上 0.5 m的粗差。选取2个已知点的不同组合方案进行二维约束平差，平差结果比例因子的变化情况如表4所示。

工程测量中各等级GPS网比例因子、检核点位较差技术要求 表3

起算点粗差定位分析数据表 表4

根据GPS控制网比例因子的数值范围，从表4可以看出1、2、3方案的比例因子超出要求范围，说明参加约束平差的起算点A2、A4、A5、A7可能存在粗差，而4、5、6方案的比例因子在要求的范围内，说明起算点A2、A5、A7不存在粗差。由此可确定A4点存在粗差，这与粗差预设情况是相符的。

6.2 检核点点位较差分析法

二维约束平差时选取均匀分布于GPS网周边的少量起算点参与约束平差，其他已知控制点作为未知点可以获得平差后的坐标。这些未参与约束平差的已知点作为检核点使用。

若起算点没有粗差，二维约束平差后的检核点平差坐标与已知坐标的差值应该很小，不会超过规范的点位精度，否则说明起算点存在粗差。由这种方法所找到的差值最大的检核点，不一定存在粗差，有可能是由所选起算点存在粗差造成的。但是如果各方案呈现出一致性，那么参与约束平差的起算点有可能存在粗差。

一般地，检核点点位较差ds应满足下式：

ds≤2σ

(5)

工程测量中各等级GPS网检核点点位较差的数值范围要求见表3。

在上述GPS控制网实例中，将已知点A4点坐标x、y各加上 0.5 m的粗差。选取2个已知点作起算点进行二维约束平差，其他已知点作为检核点，比较分析不同方案平差结果检核点点位较差的差异情况(见表4)。点位差异大的，说明参与约束平差的起算点存在粗差。

根据GPS控制网的检核点点位较差的数值范围，从表4可以看出1、2、3方案检核点点位较差最大值明显超出范围，说明参加约束平差的起算点A2、A4、A5、A7可能存在粗差，而4、5、6方案的已知点点位较差最大值在要求的范围内，说明起算点A2、A5、A7不存在粗差。由此可确定4号点存在粗差。

7 结 语

在GPS网二维约束平差中，参与二维约束平差的起算点应在3个以上，且均匀分布于控制网的周边。起算点存在粗差必然导致基线误差的增大、点位误差的增大和比例因子的异常。采用2个起算点的不同组合方案进行二维约束平差，使用比例因子分析法、检核点点位较差分析法可以排除不存在粗差的起算点，从而实现起算点粗差的定位。