基于改进ApFFT的动平衡信号检测算法

王相怡，陈桂芬，王义君

（1.长春理工大学 电子信息工程学院，长春 130022；2.长春中国光学科学技术馆，长春 130117）

在动平衡系统应用中，转子不平衡量引起的噪声严重影响设备安全、可靠运行，因此实时准确的进行动平衡信号检测是校正不平衡转子的基础[1]。但是动平衡信号是非线性和非平稳的，随机性和噪声等不理想成分给动平衡信号的提取造成很大的困难。当不平衡转子转动时，其不平衡量相对中心轴线会产生离心力，从而引起转子的振动，振动产生的信号即为动平衡信号，它的频率与转子的转动频率是一致的。

目前，旋转机械的故障诊断主要通过对故障信号做FFT处理，通过频谱图获取幅度、频率和相位值来分析诊断结果，因此FFT算法在动平衡振动信号处理中处于重要地位。FFT算法采用的是时域截断——周期拓展的方法，要求整周期采样，抗干扰能力低，会引起频谱泄漏及栅栏现象，比较适合于含有单一频率的简单情况。而实际中，动平衡振动信号往往含有亚倍频、基频、高倍频成分以及其它干扰。动平衡测试时，由于转子的转动频率往往不是恒定的，会有小范围的跳动，振动信号的频率会有波动，所以采样一般不是整周期的同步采样。

本文首先简单介绍了积分法、Gabor变换、STFT算法，并各自阐述了它们的优缺点。最后，提出了改进的ApFFT算法，通过仿真得到，相比于传统的算法，改进的ApFFT方法能精高精度提取频率、幅值及相位信息，并具有很好的抗高斯白噪声的性能。

1 动平衡信号提取算法

1.1 积分法

积分法的数学原理是，在(0～T/2) 和(T/2～3T/4)这两个区间内对动平衡信号进行积分，可以得到式（1）数学表达式：

由式（1）可以得到信号的幅值与相角，如下式（2）所示：

积分法的运算最为简单，但是它并没有充分利用全周期的数据，且通过积分法很容易造成噪声的叠加，因此积分法仅仅用于初步信号预估，在实际中较少使用。

1.2 Gabor变换

Gabor变换是用二维的时频平面上离散栅格上的点来表示一个一维的信号，并以高斯型函数作为展开函数对信号进行分解，提出了著名的Gabor展开[2]：

式中，由高斯窗函数g(t)=e-t2通过移位和调制就可以得到基函数（Gabor基），即gn,k(t)=g(t-nT)ej2πkΩt；x(t)∈L2(R)的一维展开Gabor系数，即Cn,k=x(t)⋅gn,k(t)[3]。为一维信号的展开系数（Gabor系数），其值可以通过将和做内积求得。Gabor变换在一定程度上解决了局部分析的问题，但对于突变信号和非平稳信号仍难以得到满意结果。

1.3 短时傅里叶变换算法（STFT）

在进行频谱分析时，短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform，STFT）是对传统傅里叶变换（FFT）的改进。动平衡信号提取时，STFT是先将窗函数加入信号，进而再做FFT。由于加窗使得变换为很小时间上的局部谱，窗函数可以根据t的位置变化在整个时间域上左右平移，利用窗函数可以得到任意位置附近的时间段频谱实现时间局域化[4]。通过选择适当的窗函数来抑制频谱泄露，减少了短范围泄漏产生的误差。窗的适当选择能够有效减少频谱泄露对频谱分析的影响，通常选择具有主瓣窄、旁瓣低、旁瓣跌落速度快的窗函数[5]。短时傅里叶变换（STFT）在一定程度上弥补了FFT频谱泄露的问题，但测量精度不够高。

1.4 全相位傅里叶变换（APFFT）

全相位快速傅里叶变换（All-phase FFT，ApFFT）算法是一种新型谱分析方法。相比于传统的FFT，ApFFT具有优良的抑制频谱泄漏和抗噪声干扰的性能[6]，且各条谱线的相位值与频率偏离值无关，即“相位不变性”[7]。

动平衡信号检测很难实现采样同步与采样序列的整周期截断[8]。由于传统傅里叶变换及其快速算法把信号截断后做周期展延，因此在首尾连接处会出现跳变，产生严重的“频谱泄露”与“栅栏效应”使检测出来的数据不准。而ApFFT法适用于多个频率成分的频谱分析，能够防止栅栏效应与频谱泄露，且相位具有不变性。ApFFT处理过程包括数据预处理和FFT算法两部分，其数据预处理则相对复杂。ApFFT信号提取分析流程如图1，具体步骤如下[9]：

（1）用长为（2N-1）的卷积窗Wc对中心采样点x（0）前后的（2N-1）个数据进行加权；

（2）将间隔为N的数据两两进行重叠相加，从而形成长度为N的全相位数据预处理新序列；

（3）对新序列进行FFT。

图1 N为4的APFFT谱分析基本框图

全相位序列x(n)长为2N-1，-(N-1) ≤n≤(N-1)，可以认为对于时间序列中的一点x(0)，存在且只存在N个包含该点的N维向量：

将（4）式中每个向量进行循环移位，把样本点x(0)前移，得到另外N×N维向量：

将（5）中数据相加并求均值，即得到全相位数据向量：

根据DFT的移位性质，式（5）中x′i(n)的离散傅里叶变换X′i(k)和式（4）的xi(n)的离散傅里叶变换Xi(k)之间有很明确的关系：

对式（7）对i求和再平均即为全相位FFT的输出：

由（8）式可知，φ0即为ApFFT谱的相位值，也是x(0)的理论相位值，无论频率偏移量β-k为多少都不影响它的理论值。

2 多频信号仿真

假设一个有三个不同频率与初相位的复合信号，如式（9）：

采取非整周期不同步采样，这三个频率均有一定的频偏。下面取N=128进行实验，比较基于FFT、STFT（加汉宁窗FFT）和ApFFT方法在频谱提取的性能。

图2 做FFT、STFT和ApFFT处理的截断波形图

图2分别是基于FFT、STFT和ApFFT方法（下文简称方法1、方法2、方法3）所截取的一小段波形图。可见方法1截断的波形首尾相差很大，而方法2和方法3处理过后的波形首尾相接。

在非整周期不同步采样时，经方法1截断后信号的首尾跳变，幅值差别很大，如图2（a）所示，在此基础上做周期延拓必会产生严重的频谱泄露，若接着分析信号的频谱特征，会有很大的误差，如图3（a1）所示，几乎每条谱线上都存在一定的分量。为了解决这个问题，如图2（b）是方法2对信号进行了加汉宁窗的处理。可以看出，加了窗的信号头尾相接，使之后的信号展延变得连续，减少了频谱的泄露，如图3（b1）所示频谱泄露减少，只分布在极少数靠近主谱线的旁线上。接下来从图2（c）和图3（c1）可以看出，经方法3处理过后的波形图首尾连续，周期延拓后做FFT的频谱方法2更加优秀，减少了更多的频谱泄露，表现在又少了几根旁瓣谱线，能量分布更集中，但仍然没有完全消除泄露。

图3（a2）（b2）分别是方法1、方法2测得的相位谱图，相值远远偏离了理论值，主谱线处还发生了突变现象。虽然方法2比方法1减少了能量泄漏，但对相位的测量并没有丝毫帮助。而方法3测得的相位具有相位不变的优点，如图3（c2）所示相位谱线呈现阶梯状，不但主谱线位置的相位值准确，就连周围旁线位置的相位值也几乎等于初相值。表1是在能量集中的第20，30，40根谱线上用三种方法测得的数据。

图3 非整周期采样时，多频信号分别基于FFT、STFT、ApFFT的频谱图

表1 三种方法的主谱线所读数据

由表1可得方法1与方法2幅值受旁瓣谱线影响，主谱线能量泄漏，幅值平均误差分别为13.74%和11.8%，相位测量值误差很大，远远偏离实际值。方法3的幅值误差为6.1%，相位误差几乎为0，达到10-4度。

虽然从ApFFT的频谱图上能够大概判定频率成分位置与能量的分布强弱，但它仍类似于传统FFT和STFT，依然是离散的线谱，而频率的偏移程度不得而知。因此直接从ApFFT频谱上读取的幅值与频率是不精确的。为了高精度的获取动平衡信号的特征信息，幅值与频率的提取需要进一步的修正。

3 改进的ApFFT算法

ApFFT谱分析具有优良的抑制频谱泄露和“相位不变性”的性质[10]。其相位不变的性质使得动平衡信号的分析不需要任何校正就能精确的估计相位信息。但是幅值与频率成分从ApFFT谱上直接读取会有些粗糙。因此要进一步对幅值与频率做校正。

若输入为单频复指数信号：

其中，信号的数字频率ω0表示为β倍频率2π/N的形式（β可以是小数），则{x（n）}的不加窗的传统FFT谱（除以N进行归一化）为：

其中，k∈[0,N-1。]

而ApFFT的公式为式（8）：

因此，本文运用FFT与ApFFT联合的相位差校正法校正幅值与频率。这种方法需要2N-1个点作ApFFT。在k=k0点做FFT得到的振幅谱为a1=|X(k0)|，相位谱为p1=ang|X(k0)|；做ApFFT得到的振幅谱为a2= |Xap(k0)|，相位谱为p2=ang|Xap(k0)|，则可得：

频率校正值为：

振幅校正值为：

如图4表示了FFT与ApFFT联合的相位差幅值相位校正的框图：

图4 FFT与ApFFT联合的相位差幅值相位校正流程

由图4可以看出，FFT与ApFFT联合的相位差幅值相位校正方法需要对序列做两次FFT变换，一次的传统的STFT，还有一次是汉宁双窗ApFFT，经两次FFT后，只需要访问主谱线就可以精确的得到精确的纠正过后的幅值与频率信息。用不变的相位信息进行校正，会取得较高的精度，并且此方法简单又巧妙。

4 仿真验证与结论

在动平衡测量中，信号波形一般来说不是纯粹的单频余弦波，而是一个包括基频、高频以及白噪声信号的复杂信号。

假设在噪声环境下包含4个频率的模拟振动信号表达式为：

其中，f0=39.5Hz是和转子同频的振动频率。n(t)是均值为0，方差为1的高斯白噪声，采样频率为1024Hz，采样点N=256。当信噪比SNR分别为10db，20db…50db时，用改进的ApFFT算法提取动平衡信号的幅值，频率与相位如表2。

表2 不同信噪比所测得的基频信号幅值、频率与相位

如表2所示，在非同步采样且有高斯白噪声的情况下，本文所用算法仍然有较高的可靠性。在SNR=50时，相位误差达到10-5级别，幅值与频率的校正误差分别为0.11%和0.48‰。随着噪声的增强，信噪比逐渐降低到10db，相位误差逐渐增大，但最大误差仅为1.1%，与理论值相差0.3度，相位测量值依然保持较高精度；幅值与频率校正精确也有所下降，但误差仍然很小，远远低于1%。

图5 信号时域波形

图6 测量信号波形图

图5是原始振动信号时域图，波形十分复杂，很难看出基频信号的时频特征。图6是用本文方法还原的动平衡信号，与实际基频信号很接近。因此可得结论：ApFFT有相位不变的特性，经过FFT与ApFFT联合相位差法修正的幅值与频率也有较高的精度，并且具有很好的抗高斯白噪声的性能。

本文提供的方法适用于受多频信号干扰的动平衡信号提取，能够校正因非整周期同步采样和频谱泄露所造成的误差，并且还能抵抗高斯白噪声的干扰。相比于传统的FFT和短时傅里叶变换更有效的减少了频谱泄露，达到了较高的识别要求，且此方法也可以应用于其他多频冗和的信号提取领域，有很大的应用前景。