基于随机客流OD的市郊铁路停站方案优化研究

毕明凯，何世伟，黎浩东，殷玮川，景 云

(北京交通大学 城市交通复杂系统理论与技术教育部重点实验室，北京 100044)

市郊铁路一般是指站间距在1～5 km，运行速度在120 km/h及以上，主要服务于城市郊区化和同城化发展趋势的、具有公交化和通勤化特征的轨道交通线路，属于城市轨道交通的一种形式[1]。市郊铁路主要服务于通勤和旅游客流，是支撑都市圈、城市带发展的基础，也是疏解城市功能、促进区域合作互动的重要手段，必将推动城市一体化发展，如京津冀一体化等。

作为市内交通方式的有效延伸，乘客服务水平成为市郊铁路运营组织中不可忽视的因素。制定合理有效的市郊铁路停站方案，对满足通勤族和旅客出行需求、提高服务水平有很大意义。同时，不同停站方案对小时通过能力的影响与列车运行速度、停站次数、停站时间以及运行方式等因素有关[2]。因此，采用快慢车搭配方式制定市郊铁路停站方案是目前较普遍的方法。以日本东京至成田机场[3]为例，具体见表1。

表1 日本京成线6种快慢车组合运营模式

在停站方案研究方面，国内外学者开展了深入研究。文献[4]考虑成本最小，构建了跨站停站方案的线性整数优化模型并求解。文献[5]以乘客出行等待时间最小为目标，基于客流OD和时间窗，构建了列车停站方案的非线性整数优化模型并求解。文献[6]基于节点服务频率构建了高速铁路列车停站方案优化模型并求解。文献[7]研究分析了旅客出行需求变化和列车消耗费用对运营效率的影响。文献[8]以最小列车牵引能耗和最短旅行时间为优化目标，建立了停站方案优化模型，发现中间站停站次数最多为3次。文献[9]构建了旅客列车停站设置方案优化双层规划模型，发现优化后列车平均停靠3.68站。文献[10]建立了基于列车停站率的高速铁路旅客列车停站方案优化模型，并设计启发式算法求解。

相较于铁路干线客运，市郊铁路客流量较小但日波动性大，开行的列车对数和班次较少，停站距离较大，未按公交特点组织，且没有形成市郊客运网络[11]。而已有的研究主要以国铁为研究对象，以列车服务频率和站点上下车总量作为乘客出行需求进行研究，缺乏对实际客流OD的研究，使得市郊铁路照搬其停站方案时与实际偏差较大，不具有实用性。为提高优化结果的实用性，借鉴相关研究理论，结合市郊铁路客流OD波动大的特点，本文将客流OD看作随机变量，构建包含随机机会约束的市郊铁路停站方案优化模型，并将随机机会和非线性约束等价变换为确定的线性约束，采用ILOG CPLEX软件[12]进行求解。

1 市郊铁路客流特点分析

旅客根据出行需要，按照自己的支付能力，选择一定的运输方式，并在一定时间和空间范围内做有目的的移动，便形成客流[13]。

相较于国铁客流，市郊铁路客流多样性水平较低，主要分为两部分：一是通勤客流；二是往返郊区旅游景点的游客。市郊铁路客流性质决定了其需求具有时空不均衡性。从时间上看，市郊铁路客流呈现工作日和非工作日差距明显。以北京S2线2016年周客流情况为例，相较于正常工作日日均发送旅客969人，周末日均发送旅客1 755人，增加81.12%；法定假日日均发送旅客2 382人，增加145.88%。

以工作日和非工作日为例，S2线为满足客流需求，采取分时段列车开行方案，包含基本开行方案和临时开行方案两部分，如图1所示。由于工作日以通勤客流为主，而非工作日虽通勤客流减少，但增添了大量的旅游客流，因此工作日增开4对列车，而非工作日需增开7对列车。

图1 北京S2线2016年列车开行情况

从空间上看，市郊铁路客流呈现区间客流密度不均衡、客流集中度过高等特点。同样以北京S2线为例，受主要旅游景点吸引，清华园—清河、南口—八达岭、八达岭—延庆等区段上下行客流分布密集。另外，从2016年的售票情况看，北京北—八达岭区段下行客流占79.7%，上行客流占77.9%，其余区段客流量极少。

客流量和流向既是基于个人旅行活动的需要而自然形成的，又受一系列社会因素的影响，其波动性较大。因此，基于市郊铁路客流特性，确定适应客流波动的市郊列车停站方案对提升运输服务质量和运输能力具有重要意义。

2 市郊铁路列车停站方案优化模型

2.1 问题描述

铁路运输与城市轨道交通分别属于中国铁路总公司和城市交通管理部门的管辖范围，然而，市郊铁路作为城市轨道交通的延伸，却一直按照铁路相关经验与模式来服务市郊客流，使其发展长期处于一种“两不管”的境地，尤其在列车开行组织方面。针对客流量波动(即高峰与非高峰时期)，市郊铁路照搬国铁春运和非春运时期经验，采取的分时段列车停站方案如图1所示。但从停站方案稳定性和长远性来看，国铁变动较小而市郊铁路停站方案却平均每季度均会发生变动，例如北京S2线被人们形象地称为“难以捉摸的小火车”。这主要是由于相较铁路干线客运，市郊铁路主要服务于市郊客流，日波动性和季节波动性远大得多，导致分时段停站方案在执行中暴露出很多问题。例如一周内非高峰时期列车上座率不足、线路能力浪费，高峰时期运力供不应求、乘客服务水平和舒适度降低，进而造成客流减少的不良后果，如图2所示。因此，结合市郊铁路客流分析，在工作日和非工作日时段，确定合理的列车停站方案对提高客运服务水平和促进运输资源合理配置有重要影响。

时间图2 北京S2线2016年某周客流量

在不确定OD客流的问题上，借鉴随机机会规划的相关理论[14]，考虑机会约束规划在阶段计划[15]、集装箱调运[16]、选址问题[17]、票额分配[18]等各运输问题中得到广泛应用，其研究理论与成果成熟，因此采用随机机会约束对客流随机性进行刻画。

需要说明的是，由于难以度量某一站点乘坐某一列车的实际人数，此处借鉴文献[6]的站点服务频率思想，即对于某个车站，其全天的停站次数(含始发)不得低于节点等级对服务频率的要求。因此，需先进行节点服务划分(将车站根据定性(地理位置、行政地位、交通区位等)和定量(客流量、GDP、城市人口等)两个方面的属性划分为不同等级的节点，并根据不同等级的节点设计列车服务频率。然后，根据车站服务频率和该站OD客流出行需求确定平均每列车上车乘客数，为下文构建数学优化模型奠定基础。

2.2 模型假设及相关符号

为简化模型与计算，基于上文分析后假设决策周期内：旅客列车运行区段和客运站点数量不变；客运站点工作日和非工作日客流量变化为正态分布。

设列车站点集合为S，以j，k，l和m为索引；市郊列车集合为N，以i为索引；列车i的定员数和平均运行速度为Capi和vi；列车i在车站j的平均停站时间为wij；站点j到k的运输距离和最小服务频率分别为djk和rjk；站点j到k的客流量Qjk，且Qjk～N(μjk，σjk)，其中μjk和σjk为周期内客流量正态变化的期望值和标准差；列车起停附加时间分别为p和q；乘客出行需求被满足的置信水平为α。

设xij为0-1决策变量，若列车i在车站j停车，xij=1；若不停车，则xij=0。设yijk为0-1决策变量，若列车i在车站j和车站k均停车，yijk=1；若不停车，则yijk=0。

2.3 模型构建

(1)目标函数。在满足旅客出行需求的前提下，最大限度缩短乘客旅行时间。从整体效益来看，旅客列车是乘客位移的载体，乘客旅行时间最短可以等价为列车旅行时间和列车停站时间最少，如式(1)所示，主要包括列车旅行时间、列车停站时间wij，起停附加时间p和q。式(1)前半部分为列车总旅行时间，后半部分为列车总停站时间以及因停站产生的起停车附加时间。

(1)

Pr{ujk·rjk≥Qjk}≥α∀j，k∈Sk>j

(2)

vijk=ujk·yijk∀i∈Nj，k∈Sk>j

(3)

(4)

(3)列车运输能力约束。列车在停靠站时，在车乘客数量会发生变化，如式(5)所示，即j站上车与通过的乘客数量之和；但列车在运行期间(或从停靠站发出后)，其在车乘客量保持固定不变，且不超过其额定载客容量，如式(6)所示。

∀i∈Nj∈S

(5)

Pij≤Capi∀i∈Nj∈S

(6)

(4)列车直达性约束，即yijk与xij关系约束。根据yijk和xij两个决策变量的定义可得约束式(7)。

yijk=xij·xik∀i∈Nj，k∈Sk>j

(7)

(5)站点OD客流出行换乘约束，即任一站点乘客可以直接或者通过换乘间接到达所有站点。换乘与停站方案联系紧密且相互影响，采取停站方案中任意相邻两站间必有列车停站，形成换乘接续关系以满足出行需求，避免产生旅客出行迂回现象。

∀j∈S

(8)

(6)决策变量约束。

xij={0，1}，yijk={0，1} ∀i∈Nj，k∈S

(9)

2.4 随机机会约束及非线性约束处理

(1)随机机会约束

对于随机机会约束的处理，一般是将随机机会约束通过等价转换为相应的确定性约束。假设客流量呈正态分布，可将式(2)正态等价转换。

Pr{ujk·rjk≥Qjk}=1-F(ujk·rjk)=

(10)

式中：F(x)为概率分布函数；Φ(x)为标准正态分布函数。将式(10)中标准正态分布函数取反函数并展开有

∀j，k∈Sk>j

(11)

式(11)为确定性约束，且与式(2)等价，从而得到市郊列车停站方案确定型优化模型(M1)：目标函数为式(1)，约束为式(3)～式(9)和式(11)。

(2)非线性约束式

式(3)和式(7)为非线性约束，需要对非线性约束进行等价转换。对于式(3)，若yijk=1，即vijk=ujk；若yijk=0，则vijk=0。设一个足够大的正整数M，可得

0≤vijk≤ujk∀i∈Nj，k∈Sk>j

(12)

vijk≤M·yijk∀i∈Nj，k∈Sk>j

(13)

vijk≥ujk-M·(1-yijk)

∀i∈Nj，k∈Sk>j

(14)

同理，可将式(7)等价转化为

yijk≤xij∀i∈Nj，k∈Sk>j

(15)

yijk≤xik∀i∈Nj，k∈Sk>j

(16)

yijk≥xij+xik-1 ∀i∈Nj，k∈Sk>j

(17)

得到市郊铁路停站方案确定型线性优化模型(M2)，包括目标函数式(1)，约束式(4)～式(6)、式(8)、式(9)和式(11)～式(17)。

3 算例分析

以某市的一条主要用于通勤和旅游的市郊铁路线为例，如图3所示。现有9个站点，开行运营速度为120和160 km/h两种市郊客运产品10列，站点和列车属性见表2～表4。其中表2的数据为某一周各日客流量处理后的OD数据。列车的起停车附加时间分别为1和2 min。

图3 市郊线路示意图

站点12345678910(155,10)/1(285,15)/2(105,5)/10(222,10)/1(97,5)/1(121,10)/1(27,5)/12—0(313,10)/2(83,10)/1(130,13)/1(90,5)/1(197,20)/1(80,10)/1(40,10)/13——0(350,20)/2(65,5)/10(86,10)/1(312,15)/204———0(188,5)/10(220,15)/10(69,10)/15————0(153,20)/1(188,10)/1(322,20)/2(45,10)/16—————0(155,5)/1(239,10)/107——————0(160,15)/1(126,15)/18———————0(255,20)/29————————0

表3 不同运营速度客运产品的载客量和开行数量

表4 不同运用速度客运产品的停站时间

结合以上数据，取客流量的置信水平α为0.90进行计算，查表知Φ(0.90)=1.281 5，按式(11)计算得到表5。

表5 站点间随机机会客流OD矩阵 人

将以上数据代入M2中，并运用ILOG CPLEX软件进行求解，结果见表6。

表6 算法求解结果

优化停站方案中，共用5列客运列车完成满足运输需求，运行总耗时为413.75 min。将5列车的停站优化方案绘制成停站图，如图4所示，图4中列车1、2和3为运营速度160 km/h的旅客列车，列车4和5为运营速度120 km/h的旅客列车。

图4 快慢车搭配开行模式停站方案优化图

由图4可知，列车平均停站3.8站，平均跨行2.6站。为更好地凸显快慢搭配开行模式对优化市郊铁路停站方案、减少乘客出行总时间的显著作用，在保证所有OD客流出行需求满足的前提下，分别计算只开行运营速度120 km/h客运产品和增大开行运营速度160 km/h客运产品比例两种情况下的市郊铁路停站方案，并进行对比分析，以验证模型和算法的有效性。

(1)单一开行运营速度120 km/h客运产品

在约束条件不变情况下，将客运产品全部设为运营速度120 km/h的旅客列车，运用CPLEX软件求得：需开行7列运营速度120 km/h的旅客列车，运行总耗时为500.50 min，具体停站方案如表7和图5所示。

表7 单一开行运营速度120 km/h客运产品的停站优化方案

图5 单一开行运营速度120 km/h客运产品的停站方案优化图

单一开行运营速度120 km/h客运产品平均停站3.5站，平均跨行2.8站。相比快慢车搭配开行模式，总运行时间增加86.75 min，说明适当开行运营速度160 km/h客运产品对减少旅客列车运行耗时效果明显，减少约17%。因此，在单一开行运营速度120 km/h客运产品的基础上，适当开行运营速度160 km/h客运产品是提高市郊铁路服务水平和乘客舒适度的重要手段之一。

(2)运营速度160 km/h客运产品的开行比例为0.6

在约束条件不变情况下，提高运营速度160 km/h客运产品开行比例至0.6，即将10列旅客列车的品类设为6列运营速度160 km/h和4列运营速度120 km/h旅客列车，运用CPLEX软件计算求得：仅开行6列运营速度160 km/h列车即可完成全部运输任务。具体停站方案如表8和图6所示。

表8 运营速度160 km/h客运产品的开行比例为0.6时停站优化方案

图6 运营速度160 km/h客运产品的开行比例为0.6时停站方案优化图

图6停站方案中运行总耗时为387.13 min，平均停站3.8站，平均跨行2.2站。相比快慢车搭配开行模式和单一开行运营速度120 km/h客运产品，总运行时间分别降低26.63和113.38 min，降低比例达29%，达到了优化效果。

随着运营速度160 km/h列车开行数量增加，乘客出行时间大幅度下降，提高了市郊铁路服务水平；同时，对3种停站方案的列车平均停站数量、平均跨站数量以及对线路能力的利用情况进行汇总，见表9。其中，线路能力利用情况以平均区段列车数量表示。

表9 客运产品不同开行比例下停站方案指标对比

由于运营速度160 km/h客运产品载客量小于120 km/h列车，使得运营速度160 km/h列车在停站数量方面略大于120 km/h列车，但平均停站比例相差仅在5%以内，同时跨站数量也仅相差0.2站，说明快慢车搭配开行模式有利于提高列车直达率，提升服务水平和乘客舒适度，扩大运输市场占比。

另外，基于OD客流优化分析市郊铁路停站方案，快慢车搭配开行模式中各区段平均减少开行约1.35列，降低了区段线路能力占用，对节约线路能力有一定的积极作用。同时，结合图4可以发现，算例中站点1和8接发车数量较大，需要布设足够的到发线以满足需求；站点2、3、4、5和6间线路单向开行4列旅客列车，为相对繁忙区段，可以考虑建设复线和电气化建设等，为车站和线路等基础配套设施的建设也提供相应的参考。

4 结束语

在我国国民经济和社会发展第十三个五年规划纲要中，市郊铁路将是城市交通发展的重点之一，也是城市化进程中必不可少的环节。作为一种重要的城市轨道交通客运产品，满足乘客出行需求是市郊铁路不变的核心任务。采取快慢车搭配形式，借鉴随机规划理论对市郊铁路停站方案进行优化，构建基于站点OD客流的包含机会约束的市郊铁路停站方案优化模型。设计算例得到：优化后的停站方案中列车平均停站3.8站，平均跨站2.6站，乘客出行总耗时为413.75 min。相较于仅开行运营速度120 km/h客运产品的情况，提高运营速度160 km/h客运产品开行比例，目标函数值减少27.00 min(约6%)，总运行时间分别降低26.63和113.38 min，降低比例达29%，达到了优化效果，有效降低了乘客总出行时间，验证了模型和算法有效性，提升了市郊铁路乘客出行服务水平。另外，优化后的停站方案平均各区段减少开行1.35列列车，降低了线路能力占用，对站点和线路基础设施布设和开行方案制定提供了参考。