有关实数完备性的进一步研究

摘 要：文章研究总结了实数完备性中的四个定理，并给出了它们之间的等价关系，再结合之前对其他基本定理的证明，可以得到实数完备性的定理是等价的，这对刻画实数完备性具有一定的借鉴意义。

关键词：完备性；等价刻画；循环证明

一、 引言

实数具有很好的性质，它是完备的，聚点定理（致密性定理），区间套定理，柯西收敛准则，有限覆盖定理，确界定理，单调有界定理，为实数完备性的六个基本定理。事实上，它们是等价的，结合之前的证明，本文给出了四个定理的证明方法，因而用循环证明的方法给出了六个定理之间的证明。

首先，简单叙述本文提及的实数完备性基本定理：

（一） 柯西收敛准则

事实上，柯西收敛准则为数列an收敛的刻画提供了理论依据：对任意给定的ε>0，如果有正整数N，当n，m>N时有|an-am|<ε。

（二） 确界原理

如果S为非空数集，它有上界，那么S一定有上确界；如果S有下界，那么S一定有下确界。

（三） 单调有界定理

单调有界数列（在实数系中）一定有极限。

（四） 区间套定理

假设an，bn为区间套，那么存在唯一的点ξ（为实数），满足ξ∈an，bn，n=1，2…即an≤ξ≤bn，n=1，2，…

二、 实数完备性基本定理的等价性证明

结合之前的证明，本文只需按照下列顺序给予剩下三个定理的证明：首先，本文以单调有界定理证明区间套定理，证明确界原理（采用柯西收敛准则），最后对单调有界定理进行证明（采用确界原理）。下面，給出证明的方法。

（一） 确界原理的证明（采用柯西收敛准则证明）

如果数集S是非空有上界的，又注意到实数具有阿基米德性，因此任意一个正整数n，都有对应的λn，它是S的上界，但λn-1n不是S的上界。因此存在α′∈S，使α′≥λn-1n，对每一个正整数m，λm为S的上界，故有λm≥α′，因而可得λn-λm<1n，同理λm-λn<1m，即|λm-λn|

因而，对任意的ε>0，存在N>0，使得当m，n>N时，有|λm-λn|<ε

由柯西收敛准则可得λn收敛，设收敛于λ，下证λ为S的上确界。

对任何α∈S和正整数n，有α<λn，可知λ是S的一个上界。又对任意的δ>0，1n→0（n→

SymboleB@ ），可得对充分大的n，1n<2δ，λn>λ-δ2，又λn-1n不是S的上界，故存在α′∈S，使得α′>λn-1n。因而可得，λ为S的上确界。

同理可得，假设S为一个非空有上界数集，那么它一定有下确界。

（二） 单调有界定理的证明（采用确界原理证明）

因为对单调递增数列和单调递减数列的证明原理相同，所以本文假设an为有上界的递增数列。数列an 满足确界原理，所以存在上确界，将它记为a=supan。下证a即是an的极限。注意到，任给ε>0，根据上确界的定义。数列an 中存在某一项aN，满足a-ε

a-ε

另一方面，由于a是an 的上界，所以对任意a。都满足an≤a

a-ε

这就证明了limn→

an=a。采用相似的方法我们可以证明，如果an 是有下界的数列，且单调递减，那么它一定有极限，并且它的下确界就是极限。

（三） 区间套定理的证明（采用单调有界定理证明）

假设an，bn为区间套，下面证明存在唯一一点ξ（实数），使得ξ∈an，bn，n=1，2…即an≤ξ≤bn，n=1，2，…

显然，an 单调递增并且有界，满足单调有界定理的条件，an有极限ξ，并成立

an≤ξ，n=1，2，…（1）

同理可以证明，若数列bn单调递减并且有界，那么它存在极限，再根据区间套定理，有下式成立

limn→

结合在另一篇文章中的证明，本文用循环法证明了实数完备性的六个基本定理是等价的，六个基本定理从不同的角度刻画了实数的性质，在实际应用的过程中，根据需要的结果来选择基本定理可以简化证明和计算。

作者简介：

孙眉，浙江省金华市，浙江师范大学数理信息工程学院。