基于4MAT理论优化数学教学

摘 要：由麦卡锡博士的团队创立的“4MAT理论”的核心是设计出一种遵循大脑运作的自然规律和学习科学本质的教学模式，使其适用于不同学习风格的学习者，实现因材施教的高质量教学。任何学习都要经历“为什么——是什么——应怎样——该是否”组成的学习循环圈。教师可以通过“创设情境——形成概念——探讨新知——融会贯通”四个环节来完成教学。函数零点存在性定理是进一步理解函数性质的重要内容。下面以函数零点存在性定理的教学为例，尝试基于4MAT理论探寻一种适合不同学习风格者的教学设计，以期发展学生的数学核心素养。

关键词：4MAT；优化数学；“函数零点存在性定理”

一、 教学设计过程

（一） 创设情境，回答“为什么”问题

教学开始时，教师不直接讲授新知，而是创设问题情境让学生讨论。

问题1 函数f（x）=lnx+2x-6是否有零点？

上节课学过“函数图象与x轴有交点等价于函数有零点”，大部分学生会想到画图象，但又很难画出函数图象。教师追问：我们知道函数y=x2-2x-3存在零点，它的图象有什么特征？

设计依据与意图：根据4MAT理论，此环节关注学生的直接体验。通过让学生动手画图并观察，激发其对新旧知识联系的好奇心，使学生了解为什么学习新知。

（二） 形成概念，回答“是什么”问题

通过观察图象，让学生尝试将函数图象的特征用数学语言表达出来。启发学生将零点所在区间缩小，观察小区间内的函数图象。引导学生发现零点所在区间的端点函数值都是一正一负，得到猜想：若函数在区间[a，b]上，有f（a）·f（b）<0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点。这个猜想是否正确？

验证猜想最好的方法是反例法，函数f（x）=1x在区间[-1，1]上有f（-1）·f（1）<0，但在（-1，1）上没有零点。追问：反比例函数与二次函数有什么区别？在猜想中补充“图象连续”，猜想是否成立？经过验证，完善后的猜想正是本节课要学习的函数零点存在性定理。需要注意的是：函数在区间[a，b]上，f（a）·f（b）<0是函数有零点的充分不必要条件，例如，函数y=x2虽然存在零点，但并不满足定理。

设计依据与意图：根据4MAT理论，此环节关注学生的抽象感知和反思加工。学生观察图象，并尝试用数学语言表达新知，可以发展学生的数学抽象素养。教师在讲解新知的过程中，渗透从特殊到一般的数学思想，并保持与学生的互动，使学生逐渐形成概念。

（三） 探讨新知，回答“应怎样”问题

虽然学生不会绘制问题1中的函数图象，但只需在其定义域（0，+∞）上找到一个闭区间，使区间端点的函数值异号，根据函数零点存在性定理可得出函数存在零点。

问题2 函数f（x）的图象是连续曲线，根据下表判断函数在区间[1，6]上有几个零点？

x123456

f（x）228-610-4-11

由这个问题学生会发现零点存在性定理只能判断函数在某个区间内存在零点，但不能判断零点的个数，通过几何画板作图，发现如果函数f（x）在区间上具有单调性，函数在此区间上存在唯一零点。也就是说，要在零点存在性定理的基础上结合函數的性质，才能判断出函数存在几个零点。

设计依据与意图：根据4MAT理论，此环节关注问题的解决。教师提出贴合学生知识基础的问题，使学生在演练新知的同时进一步理解新知。

（四） 融会贯通，回答“该是否”问题

通过前三个环节，学生已经对新知有了自己的独特理解。教师要给学生提供实践和检验新知的机会。

问题3 函数f（x）=lnx+2x-6在区间（2，3）上有零点，如何找到这个零点？

利用几何画板作图，发现函数在区间（2，3）内存在唯一零点。引导学生利用环节2中缩小区间的想法，尝试将区间进一步缩小，遵循原则：将零点所在区间一分为二，使区间两端点值逐渐逼近零点（利用二分法求解方程的近似解）。此时零点存在性定理不再是新知，它成为学习“二分法”的基础，学习者开始将新知化为工具并用到新的学习中，正如学习循环圈所说，学习的最终结果是又回到了起点。

设计依据与意图：根据4MAT理论，此环节关注挑战和拓展。在学生掌握新知后，引导其拓宽视野，积极思考“假如……，那该会怎样？”。具有挑战性的应用可以使学生更好地掌握知识和创造性地应用知识。

二、 结论

本节课需要师生的高度配合，一方面为了更好地启发引导，整节课以学生为主体，学生也要大胆表述自己的想法和质疑；另一方面教师要根据学生的能力水平和思维方式存在的差异，提出具有层次性的问题，不断渗透数形结合以及从特殊到一般等数学思想，力求发展学生的数学抽象等核心素养。

参考文献：

[1]陈彩虹，庄承婷，译，[美]伯尼斯·麦卡锡，丹尼斯·麦卡锡.自然学习设计：面向不同学习风格者差异施教[M].福州：福建教育出版社，2012.

[2]章建跃.“方程的根与函数的零点”的教学[J].中国数学教育，2012：16-18.

作者简介：

崔加奇，广西壮族自治区桂林市，广西师范大学。