关于二元函数求极值问题的探讨

陈康 李明明

摘 要：二元函数极值问题是高等数学研究的重点内容，学生在学习过程中也存在着一定的难度，因此笔者通过多年的教学以及研究，通过部分例题的举例来说明二元函数极值的求解。

关键词：二元函数；极值；极值求解

一、 二元函数极值的相关定义

如果二元函数z=f（x，y）在某点P（x0，y0）的某个领域内有定义的话，存在异该领域内P（x0，y0）的任一点Q（x，y），都有f（x，y）>f（x0，y0）（或f（x，y）

设二元函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处具有偏导数，且在点（x0，y0）处存在极值，则有f′x（x0，y0）=0，f′y（x0，y0）=0。并称能使f′x（x，y）=0，f′y（x，y）=0同时成立的点（x0，y0）为函数z=f（x，y）的驻点。从这里可以看出只要函数存在极值点而且偏导数等于0，则一定是驻点。如果是驻点，就不一定是极值点了，需要再进一步讨论。那么该如何讨论驻点是不是极值点呢？用极值存在的充分条件进行判断。

设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又f′x（x0，y0）=0，f′y（x0，y0）=0，令f″xx（x0，y0）=A，f″xy（x0，y0）=B，f″yy（x0，y0）=C，则f（x，y）在（x0，y0）处是否取得极值的条件如下：

（1） AC-B2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值；

（2） AC-B2<0时没有极值；

（3） AC-B2=0时可能有极值，也可能没有极值，需另作讨论。

与一元函数类似，我们利用函数的极值求解函数的最值。如果f（x，y）在有界闭区域D上连续，则f（x，y）在D上必定能取得最大值和最小值。这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部，也可能在D的边界上。假定函数在D上连续，在D内可微且只有有限个驻点，这时如果函数在D的内部取得最大值（最小值），则这个最大值（最小值）也是函数的极大值（极小值）。因此，在上述假定下，求函数最值的一般方法是：将函数f（x，y）在D内的所有驻点处的函数值及在D边界上的最值相互比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值。对于实际问题，如果驻点唯一，且由实际意义知问题存在最值，则该驻点即为最大值点。如果存在多个驻点，且由实际意义知问题存在最大值和最小值，则只需比较各驻点处的函数值，最大的则为最大值，最小的则为最小值。

二、 举例说明极值求解方法

对于无条件极值问题做题步骤是：（1）先求出驻点；（2）然后用极值的判断方法进行判断求解。

对于条件极值问题，要视条件的情况而定，情况1：条件是方程，则可以用拉格朗日数乘法，或者将条件带入二元函数中转化为一元函数来求解；情况2：条件是区域，则区域内用无条件极值的方法求解，得到满足区域内的点，排除区域外的点，区域边界用情况1的方法求解。

例1：设z=z（x，y）是由x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0确定的函数，求z=z（x，y）的极值点和极值。

此题为无条件极值问题，因此用无条件极值的方法求解，如下：

【解】x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0，对x，y求导，有

2x-6y-2yzx-2zzx=0

-6x+20y-2z-2yzy-2zzy=0（*）

令zx=0

zx=0得方程组x-3y=0

-3x+10y-z=0故解得x=3y

z=y

将上式代入x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0，可得x=9

y=3

z=3或x=-9

y=-3

z=-3

将（*）再分别对x，y求导，有

2-2y2zx2-2（zx）2-2z2zx2=0

-6-2zx-2y2zxy-2zy·zx-2z2zxy=0

20-2zy-2zy-2y2zy2-2zy2-2z2zy2=0

则A=2zx2（9，3，3）=16，B=2zxy（9，3，3）=-12，C=2zy2（9，3，3）=53

故AC-B2=136>0，又A=16>0，从而点（9，3）是z（x，y）的极小值点，极小值为z（9，3）=3。类似地有A=2zx2（-9，-3，-3）=-16，B=2zxy（-9，-3，-3）=12，C=2zy2（-9，-3，-3）=-53

可知AC-B2=136>0，又A=-16<0，从而点（9，3）是z（x，y）的极小值点，极小值为z（-9，-3）=-3。

例2求函数z=f（x，y）=cosx+cosy+cos（x-y）在闭区域D：0≤x≤π2，0≤y≤π2上的最值。

【分析】由于函数f（x，y）在闭区域D上连续，故f（x，y）在D上必存在最大值与最小值。要求最值点，应首先求出D内的可能极值点，其次再求出f（x，y）在D的边界上的极值点，最后比较大小。

【解析】z′x=-sinx-sin（x-y），z′y=-siny+sin（x-y），z″xx=-cosx-cos（x-y），

z″xy=cos（x-y），z″yy=-cosy-cos（x-y）。令z′x=0，z′y=0，得sinx=-sin（x-y）

siny=sin（x-y），則sinx+siny=0。在D的内部，00，siny>0，故上述方程组在D的内部无解，即D的内部无极值点。从而最值点只能在D的边界上达到。又当0≤x≤π2时，1≤f（x，0）=f（0，x）=1+2cosx≤3，1≤fx，π2=fπ2，x=2sinx+π4≤2，且f（0，0）=3，f0，π2=1.故f（x，y）在D的边界上最大值为3，最小值为1.综上，f（x，y）在D上最大值为3，最小值为1.

三、 结束语

近年来很多学者都在做极值方面的研究，也发现了很多可喜可贺的成果。但是很多学生在二元函数极值问题的讨论上仍存在一定的问题，希望本文对学生学习极值的时候有一定的贡献，帮助学生解决相关问题，供大家学习参考。

参考文献：

[1]马丽君.多元函数极值的充分条件[J].科技信息，2010（24）.

[2]李安东.多元函数极值和条件的一般判断方法[J].皖西学院学报，2006（2）.

[3]陈吉美，等.高等数学教学改革研究与实践[J].湖南理工学院学报，2016，29（4）.

作者简介：

陈康，李明明，四川省成都市，西南交通大学希望学院。