中学数学概念的教学研究

摘 要： 数学概念是数学中最基本的内容，是学生认识数学这一门学科的源头，数学定理和数学公式等都是以此为基础推导出来的，同时，数学概念也是增强学生逻辑思维能力的必要环节。因此，数学概念教学对于提升教学水平，完成教学目标，有十分核心的作用。

关键词： 中学数学；数学概念；教学研究

一、 数学概念与数学概念的教学

（一） 数学概念的涵义

数学概念构成了数学的基本框架，也是关于数学内容的初步了解。数学概念指的是事物在数量和结构等方面的关系、特点，以大量实践为基础，从数学的各个研究角度，归纳总结出数学概念的本质特点。按照其笼统程度将数学概念划分成描述性概念和定义性概念。其中，描述性概念是说能够通过观察而直接得出来的概念。

（二） 数学概念的特性

1. 抽象性与具体性：数学概念的抽象性表现为：第一，当数学概念体现数学内容的本质属性时，它具有抽象性。例如：我们实际当中并不存在抽象的椭圆，只是能看见一些具体的，如鸡蛋、雨花石等。第二，某些数学概念是用特定的符号来规定的，例如：未知数借助符号x表达。第三，某些数学概念是发散思维的结晶，例如：n维线性空间、欧式空间等。

2. 确定性与灵活性：数学概念的确定性指的是有其相对稳定性的一面，这是相对于一个时期，并不是指概念的整个发展阶段，因此，我们既要看到数学概念的确定性，也要看到它的灵活性。数学概念的灵活性是说随着我们对概念的认识加深，数学概念会随之发生变化。例如：随着初中阶段的实数到高中阶段的复数的演化，一元二次方程根的概念也随之发生了变化。只有更准确的理解概念，才能增强学生的数学水平。

3. 符号化与简明化：在概述数学概念时，因为文字有时不能很直白的表达概念，并且在描述过程中过于复杂，故用符号进行表示会简单明了。比如交集符号“∩”、连加符号“∑”、垂直符号“⊥”等等。这些符号既能反映出概念的性质，又能使其表达更加清晰、精确、简明。

（三） 数学概念教学的意义

1. 数学概念是把握基本知识的关键。例如：要想能靈活的利用椭圆的概念来做题，我们先要知道椭圆的定义是什么。即“|F1+F2|=2a的动点p的轨迹”。如果对这些知识没有一个清晰的认识，就不能准确理解“椭圆”这一概念，也就不能很好的利用性质来处理问题。

2. 数学概念是技能训练的必要条件。例如：利用方程解答实际题目广泛应用于在整个数学中，但很多学生不太会用这种方法来解题。要想解决这一问题，在教学中要提高学生思考问题和理解问题的水平，使学生明确认识“方程”这一概念。

（四） 中学数学概念教学的现状

教师常常在数学概念教学活动中直接给出定义，指出需要注意的地方，然后列举大量的例子让学生反复练习，通过多做题使学生加深了对概念的认识。容易导致学生生硬的接受概念，而对概念并没有什么深入的理解，只是照猫画虎的进行练习。由于学生对概念的关键特征没有很好地理解，当遇到的问题不能用已学知识解决时，就会计无所出。

二、 中学数学概念课教学的案例研究

（一） “函数单调性”的概念教学

1. 教学内容分析：函数的单调性是函数的主要内容，起着承先启后的作用。一方面，是高中所学内容的深入，让学生就函数而言有深刻理解。另一方面，函数单调性为后续内容提供初步认识。

2. 课堂教学设计

（1）创设情境：教师分别作出y=x+2，y=-x+2，f（x）=x2相应的图，让学生看当x变化时，f随之是怎样变动的？

生：图1从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大，图2从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小。师：回答得很正确。图像变化时，也相应变化函数，我们分为增函数和减函数两种。问：那么图3属于哪种函数呢？

（2）初步探究，形成概念

生：是增函数。生：是减函数。生：既增又减。生：分情况讨论。师：好，那么，什么情况下增，什么情况下减呢？

生：函数在区间（-∞，0）上增，在区间（0，+∞）上减。师：不错。这个函数在对应区间并不是一直单调，而是在相应区间的某个部分上单调。这就说明函数的单调性具有局部性。你们可不可以按照自己的认识，简单概括增函数和减函数的定义？

生：如果函数f（x）在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f（x）在该区间为增函数，如果函数f（x）在定义域上的某个部分随x的变大，随之变小，就说函数f（x）在该区间为减函数。师：这种直接通过图像而得到函数的单调性，属于感性认识。对单调性理性的认识是：f（x）如果满足在区域M上，随x增大y也增大，就称函数 f（x）在区域M上为增函数，区域M就叫做f（x）的增区间；反之，如果随x变大y变小，那么就称f（x）在区域M上是减函数，区域M也相应的称为f（x）的减区间。

（3）深刻理解概念：怎样利用等式f（x）=x2得出函数在区间[0，+∞）上是增函数？

生：在给定区间内任取两个数，例如1和2，因为12<22，所以f（x）=x2在区间[0，+∞）上为增函数。生：用大量数据验证同样成立，所以f（x）=x2在区间[0，+∞）上为增函数。师：当x=-1，1，2，3，4，5…，f（x）=1，1，4，9，16，25…也是随x增大而增大的，能否说f（x）=x2在区间（-1，+∞）是增函数？

生：摇头。师：有无数个数满足，并不能说明所有数都满足。我们无法逐个比较（-1，+∞）的数，所以只能用合适的字母去代替区间内所有的数。

（四） 给出严格定义：“函数y=f（x）在区间A内单调，而且MA，如果差值Δx=x2-x1>0，同时当Δy=f（x2）-f（x1）>0时，这时称函数y=f（x）在区域M上是增函数；当Δy=f（x2）-f（x1）<0时，同样我们称函数y=f（x）在区域M上是减函数。”

3. 课后反思

函数的单调性是很重要的内容，在教学过程中，教师提供了一个良好的讨论平台，并且提出了一系列问题，让学生自主学习、归纳总结数学概念，这样更利于他们理解函数单调性这一内容。

参考文献：

[1]钱小慧.中学数学概念教学研究[D].云南：云南师范大学，2006.

[2]许敏.中学数学概念新授课教学研究[D].上海：上海师范大学，2010.

作者简介：

雷小玲，天津市，天津师范大学数学科学学院。