把握数学知识本质，设计合理教学活动

郭敏

[摘 要] 数学教学的基本原则是对数学知识本质的把握与合理教学活动的设计. 关注数学知识本质应从“四基”角度进行，教学活动的设计重在对学生思维活动的预设.两者相互结合，可以促进数学学科核心素养的培育.

[关键词] 高中数学；知识本质；教学活动；核心素养

著名数学教育专家、原东北师范大学校长、普通高中数学课程标准修订组组长史宁中教授，在谈及数学教育中应当遵循什么样的原则时，曾经给出了这样的答案：至少应当遵循两个原则，一个原则是把握数学知识的本质，另一个原则是设计并实施合理的教学活动.

笔者注意到，这个问题的提出与回答，是在讨论如何培养学生的数学素养的背景下进行的. 众所周知，核心素养及数学学科核心素养是当前的一个热门话题，数学学科核心素养则是高中数学教师比较关心的主题之一，作为引领下一段高中数学教学方向的重要理念，史宁中教授提出上述两个教学原则，对当前的数学教学，对未来的数学学科核心素养培养有着什么样的启发？笔者对此进行了深入思考，并尝试做出了回答.下面分四点进行阐述：

数学知识本质，数学教学的永恒话题

数学知识的本质，在高中数学课程标准中是从“四基”角度来阐释的，关于四基，一线教师通常并不陌生，就是在原有基础知识、基本技能的基础上，增加的基本思想与基本活动经验.必须肯定的是，“双基”曾经引领中国基础教育取得了长足的发展，在此基础上增加基本思想与基本活动经验，实际上是呼应了基础教育发展的需要，使得数学教师对数学及其教学的理解更为完整.

这是一个重要的判断，因为学生所习得的数学如何，很大程度上取决于教师的教学，而教师的教学又取决于自身的教学理念，即对“四基”的理解. 坦率说，日常教学中，很少有教师明确会从“四基”角度去认识教学内容的，更多的是基于该知識在应试中的地位去确定其重要与否的. 不可否认，应试是必须面对的，但学生对数学学科的理解，尤其是面对即将到来的核心素养培育需要，进一步准确地从“四基”角度认识教学内容，则更是必要的.

以“集合与元素”这一内容为例，从基础知识的角度认识，其需要学生掌握集合与元素的定义，需要学生认识到集合与定义的联系，重点是集合的确定性、互异性与无序性三大特征，通常需要让学生能够表述这些内容并能够结合实例进行判断. 从基本技能的角度来看，基于对集合概念及集合中元素的特性的理解，通常需要让学生能够掌握集合的判定办法（能清楚地界定集合内有哪些元素，这些元素必须互不相同，且总体不会因顺序的改变而改变），掌握集合的表示方法（通常包括自然语言法、列举法、描述法、韦恩图法等），这实际上是日常教学的一个重点，是面向应试需要的教学重心. 从基本思想的角度来看，很少有人意识到集合在作为高中数学最基本的知识教学的同时，这其实也是一个重要的数学思想教学的机会.因为集合本身就是一种思想，当将数学研究的对象从一个数变成一类元素时，集合思想就产生了，在集合概念基础上建立子集、交集、并集、补集、空集等，都可以视作是对应的子集思想、交集思想……的产物.在实际教学中，借助于集合的表示尤其是韦恩图的表示来进行集合的教学，就可以让学生体验到数学思想的形成与运用过程. 基本活动经验是相对于数学活动而言的，集合概念的教学既可以遵循数学知识演绎的思路，也可以遵循数学活动的思路，尤其是对于抽象思维能力较弱的学生而言，数学活动的设计更是必要的. 这个数学活动是狭义的，仅指带有体验性的活动，如将自然数、整数、有理数、实数等实物化，以物或人来表征它们，然后去讲授集合概念，就可以视作是一种数学活动.

可以肯定的一点是，从“四基”角度去认识数学及其教学，其可以拓宽教师的经验视野，从而为后续的有效教学及核心素养培育服务.

教学活动设计，数学教师的教学重心

上面提到了，学生数学学习结果如何取决于教师的教学，这个教学实际上就是指教学活动. 在数学学习活动开始之前，必然有一个教学活动设计的过程，这个过程应当是教师的教学工作中永恒的重心.

教学活动设计是对教学活动的预设，设计的是教学活动，需要思考的却是学生在学习中可能的思维过程.基于对学生思维的预设，是教学活动设计的重要选择.

在“函数的奇偶性”教学中，让学生利用定义去判断函数的奇偶性，笔者预设了这样的两个教学环节：一是跟学生明确利用定义判断函数奇偶性的步骤；二是引导学生进行奇偶性定义的等价变形. 在第一个环节中，需要建立的步骤是：先求函数的定义域，然后根据函数是否关于原点对称，以判断其是不是具有奇偶性，如果关于原点对称，则进入下一步，即用-x去代替x，看得到的f（-x）与f（x）的关系. 在第二个环节中，要演绎出的关系是：对于偶函数，有f（-x）=f（x），有f（x）=f（-x），有f（-x）/f（x）=1（f（x）≠0），反之亦然；对于奇函数，则有f（-x）= -f（x），有-f（x）=f（-x），有f（-x）/f（x）= -1（f（x）≠0），反之亦然.

本教学中的关键在于，学生在理解、生成这些知识的时候，会有哪些思维过程呢？笔者的预设是：在第一个环节中，学生容易忽视的是对函数的定义域的判断，而事实上这一步非常基础，要让学生重视这一点，教师更贴切的做法不是事先跟学生强调判断定义域的重要性，而是在学生因忽视了定义域判断而出错之后再进行强调，这样的教学活动设计，往往更容易让学生形成印象；但需要注意的是，遵循这一教学活动设计思路，需要提供的例题要具有典型性，同时要防止学生因为初次出错而形成负迁移；对于第二个环节的设计，其实已经是对此前教学过程的概括，因为这样的一个流程，需要学生对用定义去判断奇偶函数的思路有相当充分的认识，这个过程中追求的是学生表述过程的流利性，越流利说明学生的思路越清晰.

总体而言，数学教学活动的设计必须高度重视对学生思维的预判，而这需要教师积累教学经验尤其是学生会产生哪些错误的经验，同时基于学生的认知规律去做出判断.

核心素养培育，面向学生的教学取向

目前对核心素养有两个层面的理解，一是宏观层面的核心素养，二是学科层面的核心素养. 后者是前者的下位概念，是前者的学科化、具体化.核心素养强调培育学生的必备品格与关键能力，数学学科核心素养强调从数学抽象、逻辑推理与数学建模三个角度去进行培养（这是史宁中教授等人的观点，另外三个要素即数学运算、直观想象与数据分析可以分别渗透在前三者之中）.

对于高中数学教学而言，数学学科核心素养的培育，最关键的一点就是需要面向学生，从文章开头所强调的数学知识本质与数学教学活动设计两个角度来看，核心素养的培育是建立在数学知识的掌握基础之上的，关于这一点目前已经得到了普遍认同，即核心素养的培育并不意味着淡化数学知识的教学，相反需要做出的努力是教师要设计出更为合理的数学活动，以让学生在活动中生成对数学学科本质的认识，从而更好地促进数学学科核心素养的养成.更有一点重要认识是，数学学科核心素养本身虽然是培育的重要对象，但对于学生而言，核心素养的形成却又不是一个可以速成的过程，用史宁中教授的观点来看，“数学学科核心素养的形成与发展，本质上是要学生自己‘悟出来的”.笔者以为，这里所说的“悟”有两层含义：一是悟是一个从量变到质变的过程，是一个从体验到认知形成的过程；二是悟是一个需要等待的过程，这意味着在数学教学中不能预设核心素养的培育目标，不能认为某个知识的教学活动认真设计了，核心素养就能够形成了. 实际上，即使是数学学科核心素养的形成，不同学生的认识也是有所不同的，同样是用定义判断函数奇偶性的步骤的掌握，有的学生概括能力强，有的学生概括能力弱，这就意味着“概括”这一素养的形成就是不同步的.

因此，面向学生个体的数学基础与认知能力去思考核心素养培育的途径，是很重要的.

從本质到活动，核心素养培育的基础

从数学知识的本质，到数学活动的设计，这是一个将“死”的知识进行教学视角下的理解，并进一步“活化”的过程，学生要经历的是一个知识生成的过程，并在此过程中进行深度思考（思考的即为数学知识之意的关系与数学逻辑），进而提升自身的学习品质，以及对数学学科的准确理解.

关注数学知识的本质，是数学教师的基本素养，反映着数学教师的课程理解水平；关注数学教学活动的设计，是数学教师的重要素养，反映着数学教师对学生在数学学习活动中思维特点的认识. 从核心素养及其培育的视角来看，只有两者有效结合，核心素养才能像植根于肥沃土壤的树苗一样茁壮成长.

因此，高中数学教学中，重视数学知识本质以及数学教学活动的设计是必要的，其既是既往数学教学经验的总结，也是核心素养背景下高中数学教学的坚实基础.