例谈高三数学复习中如何培养学生核心素养——以《隐轨迹问题》为例

戴天竹

（江苏省苏州实验中学，江苏 苏州）

核心素养是知识、能力、态度或价值观等方面的全面体现，它深深地影响着一个人的全面发展，高中数学教学中要努力发展学生的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数学分析等能力。

高三复习课是对高中知识的提炼，是知识升华的一个过程，为高考服务，那如何有效提高课堂效率，如何引领学生形成核心素养，这一直是我们一线教师思考的问题。

本文以《隐轨迹问题》为例，谈谈本人对培养学生核心素养方面的一点想法。

一、课前热身

1.已知圆 O：x2+y2=1，若直线上总存在点P，使得过点P的圆O的两条切线互相垂直，则实数k的最小值为____.

2.已知 A、B 是圆 C1：x2+y2=1 上的动点P是圆 C2：（x-3）2+（y-4）2=1 上的动点，则的取值范围是_______.

3.已知点 A（-2，0），B（4，0），圆 C：（x+4）2+（y+b）2=16，点P是圆C上任意一点，若为定值，则b=________.

评析：题1和题2中利用圆的切线、圆中弦、圆的直径构造直角三角形便于问题的解决，通过这两题让学生能唤醒圆的相关知识，能总结到圆相关问题的解决，学会从圆的性质考虑解决策略。题3是阿波罗尼斯圆知识的简单运用，此题的设计能让学生唤醒阿波罗尼斯圆知识以及利用方程求轨迹的方法，从而为本节课打好知识储备，以更好地提高学生的核心素养。

二、课堂分析

例1.已知圆O：x2+y2=5，A，B为圆O上的两个动点，且AB=2，M 为弦AB的中点a+2）.当A、B在圆O上运动时，始终有∠CMD为锐角，则实数a的取值范围为__________.

生：由M为弦AB的中点，可构造直角△OMA，故OM=2，所以当A，B在圆O上运动时，点M的轨迹为圆x2+y2=4，又由∠CMD为锐角，知点M在以CD直径的圆外，所以圆x2+y2=4与以CD为直径的圆（y-a-1）2=1 外离，所以 8+（a+1）2＞9，所以 a＜-2 或 a＞0.

师：这边我们用到了哪些知识点？

生：圆中弦构造直角三角形，圆外的点对直径的张角为锐角。

师：也就是说对两定点张角为锐角的点在以此两点为直径的圆外，类似地，我们还能得到？

生：对两定点张角为直角的点是以此两点为直径的圆，对两定点张角为锐角的点在以此两点为直径的圆内.

变式：在平面直角坐标系xOy中，已知点P（-1，0），点 Q（2，1），直线 l：ax+by+c=0 其中 a，b，c 成等差数列，点P在直线l上的射影为H，则线段QH的取值范围是__________.

生：由 a，b，c成等差数列，知直线 l过点 M（1，-2），又因为点P在直线l上的射影为H.所以点H的轨迹是以PM为直径的圆x2+（y+1）2=8，所以线段QH的取值范围是［

评析：此两小题以多种形式体现对两定点张角为直角的点是以此两点为直径的圆这一知识点，让学生深刻地理解此知识点，并能升起挖掘隐含条件的强烈愿望，引导学生提炼问题的能力。

例 2.已知点 A（2，3），点 B（6，-3），点 P 在直线 3x-4y+3=0 上，若满足等式A—→P·B—→P+2λ=0 的点 P 有两个，则实数λ的取值范围是__________.

生：设点 P（x，y），因为A—→P·B—→P+2λ=0，

所以（x-2）（x-6）+（y-3）（y+3）+2λ=0，即（x-4）2+y2=15-2λ，又因为点P有两个，所以以上方程是圆，且与直线 3x-4y+3=0相交，所以所以 λ＜2。

师：我们注意到这里也有个圆，形成的方式和例1中不同，它是怎么形成的？

生：由向量点乘得到的。

师：能不能更准确点，把相关元素都一般化？

生：一个动点，两个定点之间有某种向量点乘关系可能得到动点轨迹可能是圆。

变式：在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x+1）2+y2=2，点 A（2，0），若圆 C 上存在点 M，满足 MA2+MO2≤10，则点M的纵坐标的取值范围是____.

生：设点 M（x，y），因为 MA2+MO2≤10，

所以（x-2）2+y2+x2+y2≤10，即圆面（x-1）2+y2≤4，

又点M在圆C上以及圆（x-1）2+y2=4与圆C的交点为（所以点M的纵坐标的取值范围是

评析：此两小题都是通过设点求轨迹的方法得到动点的轨迹方程。此处让学生去寻找此类问题的共同点：都是有两定点和一动点，进而由它们间的关系式得到动点的轨迹。通过对问题的总结，寻找共同点，提高学生总结问题、解决问题的能力，进一步提升学生的素养。

例3.在平面直角坐标系中xOy，已知圆C：x2+y2=5，过作点A（1，0）作两互相垂直的直线分别交圆C于点E，F，G，H，则 EG 的最小值为 __________.

解析：本题可取EG中点B，根据圆中弦构造直角三角形，同时将两动点间的距离EG转化为AB，可得到动点B与定点O、A之间的关系，进而得到B点轨迹，再求出EG最小值。

方法二：利用圆中弦构造直角三角形，如图，延长PA交圆M于点P′，设O到PP′的距离为 d1，则（类似构造我们也可得到再由下同法一。可设 B（x，y）得所以AB的最小值为则EG的最小值为2.

变式：已知圆 M：x2+y2=4，圆 N：x2+y2=16，点 A（1，0），动点P，Q分别在圆M、N上，且AP⊥AQ，则PQ的取值范围为_________.

解析：方法一：将AP、AQ作为邻边作矩形PAQT（则有xT=xP+xQ-1，yT=yP+yQ），将求两动点间距离PQ转化为求一动一定两点间距离AT，

评析：此两小题体现化归思想，将多动点问题转化为一动点问题，进而用轨迹方程方法或圆中直角三角形等几何法来求出此动点轨迹，进一步培养了学生逻辑推理、数学分析等核心素养，提升了学生解决问题的能力。

本文就高三复习课如何提高课堂效率、如何培养学生的数学核心素养进行了一些简单的尝试，今后还将进一步开发，将高三复习课打造成我们提高业务素养的又一基地。