曲面积分的计算与应用研究

梁宏伟

（长春市养正高级中学数学组，吉林 长春）

曲面积分是微积分理论的重要内容，具有高度的抽象性和严谨性，同时也具有广泛的应用性。

一、第一型曲面积分的概念与性质

定义设∑为光滑曲面，函数f（x，y，z）是定义在∑上的有界函数。把∑任意分成n个小块△Si（i=1，2，…，n），△Si也表示其面积。在△Si上任取一点（ξi，ηi，ζi），用λ表示∑的直径中最大者。如果极限存在，

则称此极限值为函数f（x，y，z）在曲面∑上的第一型曲面积分，或对面积的曲面积分，记为

第一型曲面积分的性质：

性质1（线性性质）设函数f，g在光滑曲面S上的第一型曲面积分存在，k1，k2是两个常数，则k1f+k2g在S上的对面积的曲面积分也存在，并且

性质2（可加性）设函数f在光滑曲面S上的第一型曲面积分存在，S可划分为两个光滑曲面 S1，S2，则 f在 S1，S2上的第一型曲面积分都存在；反之，如果f在S1，S2上的第一型曲面积分都存在，则f在S上的第一型曲面积分也存在，即

当S为唯一封闭曲面时，习惯上把f（x，y，z）在S上的第一型曲面积分面积记为

二、利用曲面方程化曲面积分为二重积分计算

分析 ∑在xOy面上的投影区域比较宽泛，故将曲面积分转化为xOy面上二重积分比较方便。

∑在xOy面上的投影区域为D：x2+y2≤2x

于是，有

由积分曲面的形状来决定曲面向哪个坐标面（如xOy面）投影，然后将曲面方程改写为该坐标面上的显函数（如z=f（x，y）），最后由此曲面方程表达面积元素（如

分析 因为柱面x2+y2=R2在平面xOy上的投影区域为一条曲线圆x2+y2=R2，其面积为0，所以不能往xOy平面上投影，可向yOz平面（或向zOx平面）投影，但是曲面关于另两个坐标面都是对称的，可以应用对称性定理简化计算。

解 由对称性定理知，∑关于zOx平面和yOz平面对称，被积函数关于y与x为偶函数，设∑1表示∑的位于第一卦限的部分，则有

例3 计算下列曲面积分：

分析 积分曲面∑均为球面x2+y2+z2=a2，关于三个变量具有轮换对称性，被积函数的每一项的对应法则又一致，又由于积分曲面的方程可以代入被积函数中去，从而可以应用轮换对称性简化计算。

计算曲面积分时，应注意观察其积分的特点，选取恰当的方法可以简化计算。

若满足对称性定理转化为第一卦限的部分来计算，各积分的上、下限均为非负数，使得计算方便。

通过对曲面积分的研究，我们更加深刻地理解了曲面积分的重要性，尤其对曲面积分计算方法与应用的研究，例如我们可以通过第一型曲面积分求曲面的面积、质量、转动惯量等；通过第二型曲面积分求通量、散度、旋度、流量等。