一种反求污染物浓度的方法

李繁春 何超 邓磊 王中平 李秀梅

摘 要：基于求污染物浓度问题的数学模型，应用有限元方法，构造了由观测值反求污染物流入浓度的近似表达式。

关键词：反问题；有限元法；微分方程

中图分类号：X524 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2018）18-0013-02

1 引言

工程领域中大部分的反问题都是与微分方程相联系的，反求污染物浓度的问题就是一个常见的例子。它的正问题是这样描述的：给定一个有确定浓度的溶液，以及污染物流入的速度和经充分混合后溶液流出的速度，计算下一时刻的溶液浓度。实际情况中，我们经常碰到的是蕴藏其中的有趣反问题。例如，假定容器是个地下蓄水池，而且靠近污染源（比如化工厂、尾矿库等），这样蓄水池就有污染物渗入，通过预先设置的探测器可以测量出蓄水池中该污染物的浓度，这些测量结果可以用来反演流入蓄水池的污染物浓度[1-2]。这一模型可以被广泛推广，本文考虑流入与流出速度相同时（稳定）的情形。

2 数学模型

这一类问题的最简单的模型是，已知容积为V的容器，有浓度为a的污染物以一个给定速度v流入，经充分搅和的溶液又以同样的速度v从容器中排出。模型的建立依赖于速度的平衡，设q代表容器中t时刻的溶质的质量，那么q随时间变化的速度就是溶液流入容器的速度和它流出的速度之差，即：

.

或者给出容器中溶液浓度c（t）=的微分方程：

（a-c）. （1）

上述微分方程有唯一解：

c（t）=a+（c0-a）.

其中参数a为流入污染物浓度，v是速度，V为体积，c0是初始浓度。

3 有限元法

对于给定时间T>0，正整数n，令h=，ti=ih，i=1，2，…n，设lj为定义在[0，T]上的连续函数，它满足：在每个子区间[tj，tj+1]上线性；当i≠j时，li（tj）=0，当i=j时，li（tj）=1。即：

，

，

.

由于lj函数图像形似帐篷，故有时被称作“帐篷”函数。

根据Lagrange插值的相关知识，得到溶液浓度函数c（tj），j=0，1，…，n的合理近似：

c（t）≈.

類似地，未知的流入物质浓度近似表达式为：a（t）≈，其中系数aj待定。

由（1）式，有=a（t）-c（t），方程两端乘以lj并在[0，T]上积分，则：

=-. （2）

上式左边可写成：

=

=

=+ +

=-[ci-1-ci+1].

右边可写成：

=-

-+ +

整理得：

令，i=2，3，…，n-1.

由此，得到（2）式对应的矩阵形式：

（3）

采用追赶法可计算出t=tj时刻流入的污染物浓度的近似值aj，j=0，1，…，n.

参考文献

[1]施吉林，刘淑珍，陈桂芝.计算机数值方法[M].高等教育出版社，2005.

[2]Charles W.Groetsh著，程晋，谭永基，刘继军，译.反问题—大学生的科技活动[M].清华大学出版社，2006.