直线问题中的“不可忽视”
2018-10-26李森
李森
摘 要：本文通过一个数学问题的解题过程，探索解题过程中渗透的数学思想与思维方法，数学解题学习对学生巩固知识、培养素质、发展能力和促进个性心理发展都有着极其重要的作用和意义。数学思维所涉及的不仅有公理、定理、公式、定义等，还有更重要的数学思想和严密的推理。让学生通过解题实践掌握越来越多的解题模式，积累越来越多的策略经验，形成严密的逻辑思维。
关键词：限制条件 隐含条件 等价转化 分类讨论
一、忽视直线方程形式运用的限制条件
例1 直线L过点P（-2，1），且点A（-1，-2）到L的距离等于1，求直线L的方程。
错解：设直线L的斜率为k，则L的点斜式方程为y-1=k （x+2），即kx-y+（2k+1）=0，
∵点A（-1，-2）到直线L的距离等于1，∴
∴所求直线方程为4x+3y+5=0.
剖析：由于直线的点斜式方程不包括平行与y轴的直线，所以应该检查过点P（-2，1）且与y轴平行的直线是否符合条件.
正解：10若直线L的斜率存在，设直线L的斜率为k，则L的点斜式方程为y-1=k（x+2），即kx- y+（2k+1）=0，∵点A（-1，-2）到直线L的距离等于1，
∴ =1，
解得k=- ∴所求直线方程为4x+3y+5=0.
20若直线L的斜率不存在，则L的方程为x=-2，点A（-1，-2）到直线x=-2的距离为│-1-（-2）│=1，符合L的条件.
∴所求直线方程为4x+3y+5=0或x+2=0.
点评：直线的点斜式方程与斜截式方程不包括平行于y轴的直线；直线的两点式方程不包括平行于坐标轴的直线；直线的截距式方程不包括过原点的直线和平行于坐标轴的直线.所以在用以上四种方程求直线方程时，一定要检查不被包括的直线是否符合相关条件，以免遗漏.实际上，在解题中，运用有关公式求斜率时，若只求得一解，应反思可能遗漏了斜率不存在的情形.
例2 求过两直线x+y-1=0和2x-y+4=0的交点，且到原点的距离为 的直线方程.
错解：设所求直线方程为x+y-1+λ（2x-y+4）=0，
即（2λ+1）x+（1-λ）y+4λ-1=0，
由题意得 = ，
解得λ=- ，故所求直线方程为2x+11y-20=0.
剖析：一般地，方程f1（x，y）+λf2（x，y）=0表示过曲线
f1（x，y）=0与曲线f2（x，y）=0的交点的曲线系，但不包括曲线f2（x，y）=0的所有曲线，上面解法恰好遗漏了直线2x-y+4=0，故用曲线系方程求解时应分类讨论，以防忽视特殊情况.本题正确答案应为：2x-y+4=0或2x+11y-20=0.
二、忽视了截距与距离的区别
例3 求过点P（-5，-4）且与坐标轴所围成的三角形的面积为5的直线方程.
错解：
设直线方程为 + =1，由题意可得 无解.
剖析：解法中错把直线在x轴，y轴上的截距当成了距离，直线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，而不是 .易求直线方程为8x-5y+20=0或2x-5y-10=0.
三、判断位置关系时忽视转化的等价性
例4 已知兩直线L1：mx+8y+n=0 和L2：2x+my-1=0，试确定m、n 的值，使 L1∥L2.
错解：由m·m-8×2=0，得m=±4.
剖析：对于两直线L1：Ax1+B1y+C1=0 和L1：A1x+B1+C1=0，
A1B1-A2B1 =0仅是L1∥L2的必要不充分条件，而L1∥L2的充要条件是A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0（B1C2-B2C1≠0）.事实上，由m·m-8×2=0，得m=±4，又由8×（-1）+（-n）·m≠0，得n≠±2，
所以当m=4，n≠-2或m=-4，n≠2时，L1∥L2.
四、位置关系分析时忽视分类讨论
例5 过点P（1，3）作直线L，且点M（2，3），N（4，5）到直线L的距离相等，求直线L的方程.
错解：由题意知所求直线过点P且与直线MN平行，而kMN=1，故所求直线方程为x-y+2=0.
剖析：解法中对直线L的位置分析时忽视了与直线MN相交的情形，即M，N分别位于直线L的两侧，此时，直线L过线段MN的中点，易求直线L的方程为x-2y+5=0.故所求直线方程为x-y+2=0或x-2y+5=0.
五、忽视问题中的隐含条件
例6 求经过点P（-2，3），且倾斜角是直线3x+4y-5=0倾斜角的一半的直线方程.
错解：设直线3x+4y-5=0的倾斜角为α，易得tan =3或tan =- ，
故所求直线方程为3x-y+9=0或x+3y-7=0.
剖析：上面的解法没注意到隐含条件.由tanα=- 知 <α<π，则 < < ，∴tanα=- 应舍去，从而所求直线方程为3x-y+9=0
总之，若能精细地设计思维过程，优先考虑限制条件，注意挖掘隐含条件，不仅能优化解题过程，还能提高正确率。学习中加强对错误的反思，能快速提升数学素养。
参考文献
G.Polya的《怎样解题》.
