基于voronoi图的铝模支撑稳定计算

摘 要：铝模板的支撑稳定性计算对铝模设计至关重要。铝模支撑的抗压力和它支撑的范围息息相关。本文讨论采用 voronoi 图方法生成杆件的二维划分多边形，作为支撑杆的作用域，用于计算支撑所受到的恒荷载。最后，计算得到支撑杆的抗压力，和规范中的设计值比较以判断是否合规。实验证明我们的算法是可行的。

关键词：voronoi图 铝模板 支撑体系

1.引言

在欧美发达国家，一些质量要求高的高层建筑普遍采用铝模板，而在国内，铝模板已经逐渐被使用，它必将要代替木模板、钢模板成为主要的模板型式[2]。在铝模板体系的设计中，结合早拆模技术，设计计算除了要满足强度、刚度的要求外，对于铝模的支撑体系还要重点考虑支撑的稳定计算[4]，[5]。

voronoi 图由俄罗斯数学家 Voronoi 于 1908 年提出的，又叫泰森多边形或Dirichlet图。该模型在计算几何学科中的重要地位，由于其根据点集划分的区域到点的距离最近的特点，其在地理学、气象学、结晶学、航天、核物理学、机器人等领域具有广泛的应用。它是由一组由连接两邻点直线的垂直平分线组成的连续多边形组成，这一模型有着实际的物理意义，voronoi 图反映了自然界普遍存在的一種现象。

据此本文将 voronoi图运用于铝模支撑体系的稳定计算。本文的主要工作是，首先，将voronoi图进行改进以使之适用于表达支撑杆和支撑杆作用域的关系，其次，提出分而治之的办法，以杆件为单位来对支撑的作用范围进行划分，最后，验证用voronoi图划分的多边形来计算支撑稳定性的算法是有效的。

2. 形成V多边形

算法以voronoi图中的散点（vertices）和边界（border）作为输入。第一部分介绍如何利用vertices生成非限制voronoi图，第二部分介绍如何利用border生成限制性voronoi图，第三部分介绍线性的voronoi图。

最终的结果是对border的划分（partition），这就是voronoi多边形，简称V多边形。

2.1非限制性 voronoi 图

本文采用的是Delaunay三角剖分算法来实现非限制的Voronoi图。具体步骤如下：

形成凸壳

这里采用的是最优的求凸壳算法即格雷厄姆方法 [1]，其中的主要依据是凸边的定义，凸多边形的各顶点必在该多边形的任意一条边的同一侧。

对凸壳进行三角化划分

根据（1）中得到的凸壳链表对包络体进行三角划分，。划分准则为：三点不共线且三角形中不包含其他凸壳点。

向凸壳内添加内部点

遍历Vertices，对每个非凸点，遍历已构成的三角形，如果该点在当前三角形中；对当前点构建新三角形，以当前点为顶点，分裂为新的三角形。

对三角形边进行拓扑划分

主要是对新三角形局部优化，其准则是：将两个具有共同边的三角形合成一个多边形，以最大空圆准则作检查，看其第四个顶点是否在三角形的外接圆之内？如果在，修正对角线即将对角线对调，即完成局部优化过程的处理。对已构网的三角形的每条边进行属性编辑，三角形三个点按逆时针连线。

形成成对应的Voronoi图

求每个三角形的外接圆心，所有三角形的边是有向边，两个点A，B，如果存在AB和BA边，则说明该边的度数为2，度数为1的边是凸壳的边；度数为2边上，两个三角形的外接圆心可以连线形成V边，度数为1的边和他所在圆心的连线，和三角形的三条边的中点形成射线也是V边。

这里产生的voronoi是对整个XoY平面的一个划分（partition）。接下来我们要把他们的作用域根据border进行限制。

2.2 限制性 voronoi 图

根据我们算法的需要，这里要对voronoi 图的边界进行划分。

（1）根据2.1第（5）中生成的射线，以及连线对border的边线进行求交并去除在多边形外的线，参照[3]；

（2）针对vertices中的每个散点Vertex做如下动作；

（3）根据2.1（5）中描述的关系，将所有和Vertex相关的V边找出；

（4）如果是边界，要根据起始，终止两个点将找出边界上的线；

（5）根据这些线段，组成逆时针方向的多边形，因为有Vertex作为参考，是否逆时针很容易判断，这样就形成了以Vertex为内点的多边形我们称之为V多边形。

由上面讨论可以知道我们的V多边形的特点是：

（1）每个Vertex都有一个V多边形；

（2）每个V多边形内点到该Vertex距离短于到其它Vertex距离；

（3）多边形边界上的点到生成此边界的Vertex距离相等。

2.3 共线 voronoi 图

通过上述讨论我们知道，只有在节点能组成三角形的情况下才能生成V多边形。然而在一些特殊情况下我们的支撑杆并不总能拍成三角形，比如梁的支撑。这时，我们对2.2的算法做些调整就可以适用了。

将所有的节点联想生成直线，并根据线的方向排序；

两个相邻边的中垂线就形成了多段线的划分（partition）；

对已有的边界进行求交，并形成多边形就形成了V多边形了。

注意这里形成的多边形，也是满足2.2中叙述的V多边形的特点的。

3.实验

在实验过程中给，我们支撑杆抽象为voronoi图中的散点（vertices），将支撑的作用范围作为voronoi图的边界（border）。

我们利用 vertices生成非限制性 voronoi 图，然后border对非限制性 voronoi 图进行剪裁，生成符合真实情况的限制性 voronoi 图并进行了分组，从而生成了对边界的多边形区域的划分。

本文采用分而治之的办法来处理复杂的支撑问题。即以杆件为单位对其中的支撑做稳定性计算。

3.1 板的划分

输入为一个板时，找出和该板相关的支撑杆，开始计算其V多变形，具体过程如下：

（1）得到板的支撑的有效支持范围：和板支座最近的支撑到该支座的中线的连线形成封闭多段线为支撑的有效支持范围border；

（2）将板的所有支撑点作为vertices；

（3）将vertices，border作为输入，根据2.2得到相应的V多边形。

3.2 梁的划分

当输入是梁时，其V多边形的形成过程如下：

（1）以此梁作为支座的板剩下部分，作為该梁的一部分，即多个多边形合并在一起；

（2）跟梁两边的支座到最近的支撑的距离将梁的两边去掉，得到了相应的border；

（3）将梁的所有支撑点作为vertices；

（4）将vertices，border作为输入，根据2.3得到相应的V多边形。

3.3计算的结果

立杆的承载力和稳定性：板模板支撑的立杆承载力根据轴心受压构件计算其轴向荷载极限值；根据 JGJ162—2008 建筑施工模板安全技术规范规定按照工具式钢管立杆受压稳定性计算其受压稳定性；受压稳定性公式为[5]：

（1）

其中，计算杆件的轴心压力设计值N根据相关的V多边形算出，以板为例

板支撑：N=1.2X（G1K*AV + G2K*VV + G3K*VV）+1.4*（Q1K*AV） （2）

其中，AV为V多边形的面积，VV为V多边形的体积。

根据（1）中的计算结果我们就可以知道杆件内的某个立杆是否合规。我们举某块板的某几个支撑作为说明，如下图：

图1的voronoi 多边形反映了撑头的支撑作用域，图2说明撑头的轴力的计算结果。从计算结果可以看出，用voronoi图表示撑头的作用域有一定的合理性。

4. 结论

本文提出了用voronoi图作为支撑杆的作用域的划分的方法，比较符合实际工程情况；从实验的结果来看这种表示方式也是有效的。计算得出了没有支撑杆所受到的轴力，可以给模板的设计，排布者一个参考。

参考文献：

[1] Graham， R. lo， An Efficient Algorithm for Determining the Convex Hull of a Finite Planar Set， Info. Proc. lett. ， 1972： 132-133.

[2] 仇铭华. 铝模板技术在北美超高层建筑绿色施工中的应用[J]. 施工技术，2013（14）：122-123.

[3] 刘英伟， 张洋. 基于 voronoi 图的材料初始组织的生成. 哈尔滨工程大学学报， Jun.2018： Vol039 No.6

[4] 罗 雯. 铝模支撑系统数值模拟与计算. 经济·管理·综述Jan.2018

[5] 祝冰青. 铝模板支撑体系的计算与应用. 山西建筑， Apr. 2015： Vol.41 No.12

作者简介：丘衍航（1982-），男，硕士研究生，主要研究方向：BIM，铝模板设计。

基金项目：中国建筑科学研究院应用技术研究课题“基于BIM技术的铝模板施工智能设计软件研究与开发”（项目编号：20160120330730035）