分离参数法不再失灵 不再半途而废——从近年的两道高考试题的解法谈起

徐正印

(广东省佛山市石门高级中学 528225)

2016年新课标Ⅱ文科卷20(2)、2017年新课标Ⅱ文科卷21(2)都是求参数取值范围的问题.命题者所提供的解法都很特别——大部分中学老师都想不到，绝大部分考生看不懂！

解决这类问题时，人们首先想到用分离参数法，况且有的参数很容易分离，但都不能用初等数学的办法解决分离变量后得到函数的最值问题，最终导致分离变量不灵或分离变量半途而废！

现在，笔者已找到一种新方法——构造函数法.从此，分离参数法不再失灵，不再半途而废.

例1(2016年新课标Ⅱ文科) 已知函数

fx=x+1lnx-ax-1.

(Ⅰ)略；

(Ⅱ)若当x∈1,+∞时，fx>0，求a的取值范围.

解(Ⅱ)当x∈1,+∞时，fx>0

⟺x+1lnx-ax-1>0

设gx=x+1lnx-2x-1x≥1，

在1,+∞上，h′(x)>0，hx单调递增，h(x)>h1=0，g′(x)>0，gx单调递增，gx>g1=0，(x+1)lnx-2(x-1)>0，

所以a≤2，a的取值范围为-∞,2.

注释这种方法是这样想到的：

设gx=x+1lnx-tx-1x≥1，

其中t为待定系数，

hx单调递增hx≥h1=2-t.

若t=2，则hx≥0，g'(x)≥0，gx单调递增，gx≥g1=0，(x+1)lnx-2(x-1)≥0

(当且仅当x=1时等号成立).

例2(2017新课标Ⅱ文科)设函数

fx=1-x2ex.

(Ⅰ)略；

(Ⅱ)当x≥0时，fx≤ax+1，求a的取值范围.

解(Ⅱ)(ⅰ)当x=0时，f0=1，对于任意的实数a，都有fx≤ax+1成立.

(ⅱ)当x>0时，fx≤ax+1

设gx=1-x2ex-1-xx≥0，

则g′x=1-2x-x2ex-1.

设hx=1-2x-x2ex-1x≥0，

则h′x=-1+4x+x2ex.

在(0,+∞)上，h′(x)<0，hx单调递减，h(x)

综上所述，a的取值范围是1,+∞.

(2)gx=1-x2ex-1-xx≥0是这样得到的：

设gx=1-x2ex-1-txx≥0，

其中t为待定系数，

则g′x=1-2x-x2ex-t.

设hx=1-2x-x2ex-tx≥0，

则h′x=-1+4x+x2ex<0，

在0,+∞上，hx单调递减，hx≤h0=1-t.

若t=1，则g′x≤0，gx单调递减，

gx≤g0=0.

于是，当x≥0时，1-x2ex-1-x≤0，

(当且仅当x=0时等号成立).

当x>0时，1-x2ex-1-x<0，