明确目标 精选例题 高效备考①——数列综合复习课的实践与思考

丘远青

(福建省福州第一中学 350108)

在我校组织的一次跨省校际高考数学复习研讨会上，笔者以一节“高三数列综合复习课”为载体，就“如何加强高考复习有效性”展开研究，期间经历了教学目标的确定、例题的选择、备课与磨课、教学实践与评课、教学反思与总结等一系列活动.在此过程中，与专家、同行的交流使我获益良多，解决了高考复习教学中的一些困惑与问题，并形成了对高考复习有效性的一些理性认识. 本文结合实践过程呈现这些认识，期待抛砖引玉.

1 初始教学设计

1.1 教学目标

在学生已有知识、方法的基础上，更进一步地让学生形成整章的知识脉络，提升数学解决问题和分析问题的能力.

1.2 例题选择

高三复习课，选题是非常关键的一个环节.笔者在教学设计时把主要精力放在这里，与大多数老师的做法一样，笔者以高考“考什么”、“怎么考”为导向来选题，将历年高考题或各地的模拟题进行归类，选择原题或适当改编，作为课堂上的例题，将它们设计为一个问题串：

例已知数列an的前n项和为Sn，a1=1,a2=2，Sn+1+Sn-1=2Sn+1(n≥2,n∈N*).

(1)证明：数列2an为等比数列；

设计意图该问题是高考常考知识点，凸显数列的核心内容，突出基础知识、基本方法.通过数列前n项和与通项之间的关系，揭示等差、等比数列通项的递推关系及其内在联系；通过解法交流，强化通性通法，培养学生的问题意识、数学直觉、推理论证及运算求解能力.

(2)设bn=2n-1,cn=max{b1-na1,b2-na2,…,bn-nan},n=1,2,3,…，其中maxx1,x2,…,xi表示x1,x2,…,xi这i个数的最大的数，求数列cn的通项公式；

设计意图在复习数列基础知识之后，引入“新定义”，旨在加深学生对数列知识的理解，尤其是对数列是一种特殊函数的认识.在对问题的分析、解决过程中，体会特殊到一般、化归与转化等数学思想方法.

(3)你能根据题目条件构造一个数列求和的问题吗？

设计意图数列求和是高考常考知识点，在学生提出问题和解决问题的过程中，系统复习数列的求和方法.

设计意图在学生掌握数列求和的基本方法后，提出此问题，希望学生避免盲目套用方法，加深对数列求和方法的理解，体会代数问题的核心是运算.

2 教学设计诊断分析

因为是面向全省的开放式教研活动，为了保证质量，学校邀请了国内知名的数学教育教学专家指导本次活动，而且将重点首先放在教学设计的研讨上.就以上教学设计，大家对如下问题进行了讨论.

2.1 如何制订教学目标

“这节课的教学目标是否合适？”这是专家们提出的第一个问题.

虽然在教学设计时也考虑过这个问题，但实事求是地说，笔者一直觉得“这不是问题”，复习课只要把题目选好就可以了.所以，在平时教学中，笔者几乎不写教学目标.初始教学设计中呈现的教学目标，只是为了应付这次研讨活动.专家们指出：如果教学目标不清晰、不具体，那么将会造成一系列的问题，如例题选择的目的性，例题之间的内在逻辑关联性，教学过程的合理性等.

通过研讨使我认识到，由于自己对教学目标缺乏深入思考，所给出的教学目标过于空乏，缺乏针对性，导致例题选择比较随意，必然带来教学重点不突出，不能有效解决学生的学习问题，也不能有效提升学生的解题能力等.

2.2 如何选择例题

“你是如何选择例题的？”这是第二个研讨问题.

这是笔者自认为考虑非常充分的问题，于是非常自信地对前述例题的设计意图进行了阐述.讨论中，专家们从另一个角度提出了问题，即例题的选择应围绕教学目标而定，要根据实现教学目标的需要. 如果从单个题目来看，可能是一个“好题”，但如果从完成教学任务的整体需要看，就有可能不是一个适当的题目. 本节课例题的选择不当，其根源在于教学目标过于宏观，导致例题的选择缺乏针对性，如问题(3)过于开放，在高三复习课中并不合适，不仅没有围绕教学目标展开，而且影响课堂效率.

2.3 如何安排题目的顺序

研讨的第三个问题是“例题顺序的安排有什么考虑？”

有了好的题目，如果顺序不当，深一脚浅一脚，那么也会大大降低教学效果. 笔者对于例题顺序安排的大概想法是：遵循由易到难的原则，重视思维的贯通性.大家在讨论中提出，这个想法当然是对的，但是在具体设计时，要对每一个例题所涉及的知识、数学思想方法以及能力要求做一个深入分析，对题目的难度以及内在联系做到心中有数，在此基础上做好问题串的预设，给学生提供拾阶而上的台阶. 这样，不仅能使难题变得容易，而且也有利于学生在面对难题时形成问题解决策略，有效发展学生的解题能力.

2.4 如何安排教学活动

笔者认为这不是问题，因为题目选好了，顺序排好了，课上让学生逐个解题就可以了. 但研讨中大家指出，让学生解题、讨论解题思路、老师讲题目的各种解法等等，确实是主要的教学活动，但其中的内涵可以有不同. 如果是以“会解这个题”作为活动导向，那么学生很可能是“仅仅会解这个题”. 以，为了达到“会解这类题”的效果，教学活动的安排，应着重考虑如何让学生“知道怎么想”、“为什么这么想”. 这就要尊重学生的主体地位，给学生充分的独立思考、自主解题的时间，在学生有了想法、有了结果后再组织学生进行互动交流，教师只要在疑难点、易错点等进行适度的点拨，并在知识的联系、思想方法的提炼等方面提示学生，帮助他们完善学习过程，学会有逻辑地思考.如问题(2)对中等以下的学生存在理解题意的障碍，教师要启发学生从特殊到一般，具体到抽象，发现规律，抓住通项，从函数的角度认识问题.

上述诊断分析确实使笔者大开眼界，实实在在地体会到明确课堂教学目标、想清楚每一堂课到底要干什么的重要性，而且在如何围绕教学目标选择和安排题目，设计教学活动时应考虑的重点问题等方面都有了更加清晰的认识. 在此基础上，笔者进行了教学再设计.

3 教学再设计

3.1 教学目标

利用等差、等比数列的基础知识、项与和的关系、基本量、基本方法等，通过代数运算与变形实现化归，解决递推数列的通项及求和问题，进一步掌握化归思想，提高运算求解能力.

修改意图上述目标的结构是：复习的知识是“等差、等比数列的基础知识、项与和的关系、基本量、基本方法”，要解决的问题是“递推数列的通项及求和问题”，内容反映的数学思想方法是“将一般的数列问题化归为等差或等比数列”，能力是“运算求解能力”.这个目标从知识、思想方法和能力等三个方面给出，直接针对高考的要求，并且是可操作、可检测的.

3.2 例题选择

例1已知数列an的前n项和为Sn，a1=1,a2=2，Sn+1+Sn-1=2Sn+1(n≥2,n∈N*).

(1)证明：数列2an为等比数列；

(2)设bn=2n-1,cn=max{b1-na1,b2-na2,…,bn-nan},n=1,2,3,…，其中maxx1,x2,…,xi表示x1,x2,…,xi这i个数的最大的数，求数列cn的通项公式；

例2几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推，求该数列的前440项和．那么该款软件的激活码是什么？

修改意图删除与教学目标不吻合的问题(3)，增加例2，旨在使学生能自觉应用等差数列和等比数列模型解决一般的数列求和问题.解决该问题需要经过“观察数列特征”、“确定数列模型”等过程，让学生进一步体会化归与转化思想在研究数列问题中的作用.

4 课堂教学实践

例题分析是实现教学目标，培养学生思维能力的重要过程．例题分析不是炫耀技巧，而是在讲解通性通法的同时注重学生思维方式和能力的形成．下面我们先看两个教学片断．

4.1 “证明数列2an为等比数列”教学片断

生1： 因为Sn+1+Sn-1=2Sn+1(n≥2,n∈N*)，所以(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=1，即an+1-an=1(n≥2)，后略.

师：你是怎么想到这种解法的？

生1：直觉.

师：能不能尝试把你的直觉描述出来？

生1：我看到了Sn+1+Sn-1=2Sn+1的系数特征并联想到Sn+1-Sn=an+1,Sn-Sn-1=an.

师：非常好，直觉很重要，实际上它是在观察问题的结构特征、联想相关知识而得到的. 思考数学问题要注意观察题目结构与运算特征. 上述过程严谨吗？

生1：漏了对n=1进行验证.

师：这是易错点，要注意解题的严谨性.还有其它解法吗？

生2： 因为Sn+1+Sn-1=2Sn+1，n≥2①，Sn+2+Sn=2Sn+1+1②，②-①得an+2+an=2an+1，n≥2，后略.

师：这个转化你是怎么想到的？

生2：以前做有关Sn递推式时，都是这么变形的.

师：哦，你是利用了已有的解题经验. 实际上，这是回到基本关系去思考问题. 注意经验的积累、方法的总结并固化为解题“模式”，对提高解题水平很重要. 还有其它解法吗？

师：你又是怎么想到的？

生3：证明数列2an是等比数列，就是要证明比值是常数.对an+1-an的变形，是根据条件的结构并联系和与项的关系.

师：非常好，解题关键要有目标意识，除了考虑已知条件怎么用之外，还要特别注意明确解题目标.

该问题的分析和解答，始终围绕教学目标中的“利用等差、等比数列的基础知识、项与和的关系、基本量、基本方法，通过运算或者是代数变形实现化归，解决递推数列的通项问题”而展开.在课堂教学中，学生所回答的三种解法都是解决数列问题的通性通法.

4.2 例2教学片断

师：这是一个具有实际背景的题目，它要求我们做什么？

生：数列求和．

师：从何看出？

生：激活码就是求该数列的前440项和．

师：非常好，解题首先要把目标具体化．如何入手？

生：根据数列的特征.

师：该数列有什么特征？

生：我看出该数列是由很多组等比数列按个数不断增加的规律排列的．

师：很多组，怎么处理？

生：可以先分组，求每组的和，看看有什么规律．

师：动手试试.后略.

该问题的难点之一在于如何把具有实际背景的问题转化为熟悉的数学模型来处理．笔者先问要做什么，意在明确解题方向；再问从何入手，是为了引导学生抓住关键词句读题、审题，充分理解题意.本题先按等比数列分组再求解，难度较高，笔者让学生尝试、摸索，而后与学生共同分析，寻找解题策略.

5 教学后记

经过本节课的教学研讨和课堂实践后的反思，笔者认为，高三综合复习课应重视以下三个方面：

(1)明确目标 找准方向

准确制订教学目标是提高教学质量和效益的前提，教学目标应当具体、明确、合理.制订高三复习课的教学目标，要以《考试大纲》和《考试说明》为航标，从中明确考试的知识范围和要求，把握复习的正确方向；要以历年高考试题为载体，从每道题所涉及到的数学知识、思想方法和数学能力等角度构建知识网络，确定复习的落脚点；要以学生为主体，对学生已有的知识结构，学生所欠缺的思想方法和能力等形成立体化认识，把握复习的可行性．总结本堂课的成功经验，反思以往高考复习中存在的问题，笔者最适切的感受就是：根据高考要求和本班学情认真制定每一堂课的教学目标，对于提高复习效果具有根本的重要性.

(2)问题导向 精选例题

例题是实现目标的载体，制定目标属于战略问题，选择例题是战术问题，恰当的例题是实现教学目标的关键．例题的选择，应以实现教学目标为方向，以发展学生的思维能力为宗旨，以“少而精”为标准，利用有代表性的高考题或变式题，揭示出应对高考问题所需要的数学知识、方法和能力等，以此发展学生的数学思维能力，提高学生的应试能力．正如波利亚所说：“专心、认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域”．

(3)夯实双基 学会思考

高三复习课的核心是要通过例题的分析、习题演练，达到夯实双基、学会思考的目的．例题教学要注意培养学生分析问题的能力，让学生面对高考题时想到解题方法，实现创造性地解题；例题讲解的一般过程应为：“读题→思考→交流题意的理解→教师点评，适当归纳→学生解题→教师巡视，发现问题，有针对性地讲解→解题反思，归纳提升”，教师的智慧在于根据学生学习进程，恰时恰点地进行启发和引导．

总之，高效的高三数学综合复习课，教师应在高考的价值取向下，向学生提供“有意义”的学习内容，不是看似一道“好题”就可以了，同时还要从有效提升学生在规定时间内完成解答任务的能力上加强思考；同时，教师要加强对学生的学法指导，让学生置身于与高考真实场景相一致的问题情境下开展分析问题、解决问题的活动，突出知识的综合贯通、观点的归纳概括，体现思想方法的联系，帮助学生学会思考，从而使系统掌握知识、领悟数学思想方法、提高数学能力整合在每一堂高考复习课中，并最终实现提升学生的数学素养．