见圆思源 “圆”来这样

武益燕

“圆”这一章的知识点较多，并且往往容易把知识点集合在一起，融合较多的其他知识，在中考中呈现的形式多样，各种难易程度题目均会出现.对于中、高难度题，同学们容易见“圆”色变.本文主要从以下几方面分析近两年有关圆的证明和计算，希望让曾经的不解之“圆”，化为今后的随“圆”而安.

一、与圆有关的弧长和面积问题

例1（2018·江苏盐城）如图1，左图是由若干个相同的图形（右图）组成的美丽图案的一部分.右图中，图形的相关数据：半径OA=2cm，∠AOB=120°.则右图的周长是 cm.

图1

【解析】如图2，由图案的对称性可知，合在一起可以看成是

所以，图1右图周长=2l⁀AB=2×

图2

【点评】这里运用了相等弧的转化思想.另外，本题考查了扇形的弧长公式.

例2（2017·江苏无锡）如图3，已知矩形ABCD中，AB=3，AD=2，分别以边AD，BC为直径在矩形ABCD的内部作半圆O1和半圆O2，一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E，点F，且EF=2（EF与AB在圆心O1和O2的同侧），则由，EF，⁀，AB所围成图形（图中阴影部分）的面积等于

图3

【解析】如图4，连接O1O2，O1E，O2F，则四边形O1O2FE是等腰梯形，过E作EG⊥O1O2，过F作FH⊥O1O2，∴四边形EGHF是矩形.

∴∠O1EG=30°，

∴∠AO1E=30°，

同理∠BO2F=30°，

图4

【点评】求不规则图形的面积，常用直接法和间接法.直接法可以利用分割的思想；间接法可以用补图的思想.本题考查了割补思想、转化思想、数形结合思想以及扇形的面积公式.

二、与圆有关的性质问题

例3（2018·浙江温州）如图5，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E恰好落在圆上.

（1）求证：AE=AB.

图5

【解析】证明：（1）∵△ADC沿直线AD折叠，得到△ADE，

∴AE=AC，∠C=∠AED，

∵∠AED=∠ABC，∴∠C=∠ABC，

∴AB=AC，∴AE=AB.

解：（2）如图6，过点A作AH⊥BE，垂足为H.

图6

【点评】本题考查了折叠的性质、圆周角的性质、垂径定理、锐角三角函数、勾股定理.重点考查了相等线段、相等角的转化思想.

三、与圆有关的位置关系

例4 （2018·江苏泰州）如图7，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，P为线段上A′B′的动点，以P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为_______.

图7

【解析】①如图8，当⊙P与AC边相切时，切点为E.连接PE，则PE⊥AC.

图8

在Rt△ABC中，

∴AB=13，BC=5.

△ABC绕点C旋转到△A′B′C，

∴A′C=12，B′C=5，A′B′=13.

设⊙P 半径为 r，则 EP=r，PA′=r，B′P=13-r.

∵PE⊥AC，A′C⊥AC，∴PE‖A′C，

∴△B′EP∽ △B′CA′，

②如图9，当⊙P与AB边相切时，延长A′B′交AB于点F.

∵∠A=∠A′，∠AB′F=∠A′B′C，

∴∠AFB′=∠B′CA′=90°，

∴PF⊥AB，∴F为切点.

图9

设⊙P 半径为r，则A′F=2r，

【点评】本题主要以三角形和圆为背景，考查了切线的性质.见切点，连半径，得垂直，这是在切线问题中的常用方法.另外也考查了分类讨论思想、方程思想以及同学们画图、分析图形的能力.利用垂直，得出三角形的相似，是解决本题的关键.

例5（2017·江苏盐城）如图10，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A，D，E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G.

（1）求证：BC是⊙F的切线.

（2）若点A，D的坐标分别为A（0，-1），D（2，0），求⊙F的半径.

（3）试探究线段AG，AD，CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.

图10

图11

【解析】证明：（1）如图11，连接FE.

∵AE平分∠BAC，

∴∠FAE=∠CAE，

∵FA=FE，∴∠FAE=∠FEA，

∴∠FEA=∠CAE，

∴FE‖AC，

∴∠FEB=∠C=90°，

即BC是⊙F的切线.

解：（2）连接FD，设⊙F的半径为r，

∵A（0，-1），D（2，0），在Rt△FOD中，FD2=FO2+OD2.

则r2=（r-1）2+22，

解：（3）AG=AD+2CD.

证明：作FR⊥AD于R，则∠FRC=90°，

又∠FEC=∠C=90°，

∴四边形RCEF是矩形，

∴EF=RC=RD+CD，

∵FR⊥AD，

∴AR=RD，

【点评】本题重点考查了角平分线的性质、矩形的性质、切线的判定、垂径定理、勾股定理等知识，属于圆的综合题.