辅助圆的构造策略与解题技巧

2018-10-25钟珍玖

初中生世界 2018年39期

关键词：圆心中点矩形

钟珍玖

圆是初中最为重要的基本图形之一，圆中的弧、弦、圆心角、圆周角有很多常用的性质，是解决圆中有关计算和推理的基础，所以构造辅助圆，运用圆的有关性质解决问题是学习圆的重点和难点.下文对构造辅助圆的方法和解题的技巧进行归纳.

一、运用圆的定义构造辅助圆

教材上关于圆的定义有两种.一种是从运动的角度定义圆：把线段OP绕点O旋转一周，点P运动所形成的图形；另一种是集合定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合.根据圆的集合定义，当问题中有若干个点到某一点距离相等时，可以考虑构造辅助圆解决问题.

例1（1）如图1，将△ABC绕着A点逆时针方向旋转一定的角度后得△ADE，连接BD、CE，则△ABD与△ACE相似吗？请证明你的结论.

图1

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，将矩形ABCD绕点A逆时针方向旋转一定的角度后得到矩形AEFG，使矩形AEFG的边EF恰好经过点D，连接BE，则BE的长为______.

图2

图3

【解析】解：（1）△ABD与△ACE相似.由旋转得：△ABC≌△ADE，

∠BAD=∠CAE，

∴AB=AD，AC=AE，

∴△ABD∽△ACE.

图4

（2）如图4，连接GD.∵∠BAE=∠DAG，BA=EA，GA=DA，

又∵在Rt△AED中，

AE=3，AD=5，

∴ED=4，∴DF=1，

∴在Rt△GFD中，

（3）点E在边BC上的运动过程中，∠ACF的大小总保持不变.

图5

∵四边形AEFG是矩形，

∴OA=OF，OE=OG，AF=EG，

∴OA=OF=OE=OG，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ECG=90°，

∴OC=OE，

∴OA=OF=OE=OG=OC，

∴点C、E、F、G、A在以O为圆心的圆上，

∴AF为圆O的直径，

∴∠ACF=90°，

即∠ACF的大小保持不变.

【点评】本题的第三题可以用第一题的思路，证明△ABE∽△ACF，运用相似三角形的对应角得到∠ACF为定角90°，对推理能力要求较高.由到定点的距离等于定长构造辅助圆，运用圆的性质“直径所对的圆周角为90°”解决问题，简洁明了，体现了思维的灵活性.

例2 如图6，在△ABC中，AB=AC=5，

图6

（1）如图7，当点B1在线段BA的延长线上时，求证：BB1‖CA1.

图7

（2）如图8，E是BC的中点，F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F对应的点为F1，求线段EF1的长度的最大值与最小值的差.

图8

【解析】解：（1）由旋转得BC=B1C，∠ACB=∠A1CB1，

∴∠B=∠BB1C，

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB，

∴∠A1CB1=∠BB1C，

∴BB1‖CA1.

（2）如图9，连接AE，作CF⊥AB于点F.以点C为圆心，CF为半径画圆交BC于点F2，此时EF1最小，即为EF2；以点C为圆心，BC为半径画圆交BC的延长线于F3，此时EF1最大，即为EF3.

图9

∵AB=AC，E为BC的中点，

∴BE=CE=AB·cos∠ABC=3，

∴AE=4，

∵BC·AE=AB·CF，

∴CF=4.8，

∴EF2=CF2-CE=4.8-3=1.8，

EF3=CF3+CE=6+3=9，

∵EF3-EF2=7.2，

故线段EF1长度最大值与最小值的差为7.2.

【点评】在很多的动态问题中，特别是翻折和旋转的图形运动中，都存在到定点的距离等于定长的情形.构造辅助圆是解决这类问题的有效方法，解题的策略仍然是运用圆的性质.

本题利用了圆外或圆内的点与圆心的连线跟圆相交，所得线段有最大值和最小值的结论.这也是圆中求单线段最值的常用方法.

二、运用定线段对定角构造辅助圆

在很多问题中，如果一条定线段的张角是定值，那么这个角的顶点在以定线段为直径或者为弦的圆上，此时构造辅助圆解题较为方便.

例3已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为O（0，0），A（5，0），B（m，2），C（m-5，2）.

（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA=90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值.

【分析】（1）如图10，由四边形四个点的坐标易得OA=BC=5，BC‖OA，构造以OA为直径的⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90°.作DG⊥EF于G，连接DE，则DE=OD=2.5，DG=2.根据垂径定理得 EG=GF.接着利用勾股定理可计算出EG=1.5，于是得到E（1，2），F（4，2），即点P在E点和F点时，满足条件.此时，即1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，使∠OPA=90°.

图10

（2）如图11，先判断四边形OABC是平行四边形，由题意易得∠AQO=90°.以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90°，于是得到点Q只能是点E或点F.当Q在F点时，证明F是BC的中点，而F点为（4，2），得到m的值为6.5；当Q在E点时，同理可求得m的值为3.5.