圆锥曲线中的“定值”命题探析

2018-10-24姚绵绵

中学课程辅导·教师教育（中） 2018年7期

姚绵绵

【摘要】圆锥曲线中的有关“定值”问题，是高考命题的一个热点，也是同学们学习中的一个难点。以下通过合情推理、类比推理从教材中一个例题出发，探索总结出几组“定值”的命题。

【关键词】圆锥曲线定值探析

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2018）07-062-01

圆锥曲线中的几何量，有些与参数无关，这就构成了定值问题.它涵盖两类问题，一是动曲线经过定点问题；二是动曲线的某些几何量的斜率、长度、角度、距离、面积等为常数问题.圆锥曲线中的有关“定值”问题，是高考命题的一个热点，也是同学们学习中的一个难点。下面我从教材中一个例题出发，探索总结出几组“定值”的命题。

人教A版《选修1-1》 P35例6：已知点A、B的坐标分别是（-5，0），（5，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是-49，求点M的轨迹方程。（x225+y21009=1）

人教A版《选修1-1》 P48探究：已知A、B的坐标分别是（-5，0），（5，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是49，求点M的轨迹方程。（x225-y21009=1）

经过逆推可得：结论一、过椭圆x225+y21009=1上的点P（x0，y0）与椭圆的长轴（或短轴）两个顶点连线PA、PB，则直线AB的斜率之积恒等于-49.（若是双曲线x225-y21009=1，则定值是49）.

经过合情推理可得：结论二、过椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的点P（x0，y0）与椭圆的长轴（或短轴）两个顶点连线PA、PB，则直线PA、PB的斜率之积恒等于-b2a2.（若是双曲线x2a2-y2b2=1（a，b>0），则斜率之积恒等于b2a2）.

经过合情推理可得命题一：经过原点的直线l与椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）相交于M、N两点，P是椭圆上的动点，直线PM、PN的斜率都存在，则kPM·kPN为定值-b2a2.

證明：设P（x0，y0），M（x1，y1），N（-x1，-y1），则kPM·kPN=y0-y1x0-x1·y0+y1x0+x1=y20-y21x20-x21（*），而点P、M均在椭圆x2a2+y2b2=1上，故y20=b2（1-x20a2），y21=b2（1-x21a2），代入（*）便可得到kPM·kPN=-b2a2.

类比得：经过原点的直线l与椭圆x2a2-y2b2=1（a，b>0）相交于M、N两点，P是双曲线上的动点，直线PM、PN的斜率都存在，则kPM·kPN为定值b2a2.（证明略）

命题二：过椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一点P（x0，y0）任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于M、N两点，则直线MN的斜率为定值b2x0a2y0.

证明：（略）

类比得：

1.过双曲线x2a2-y2b2=1（a，b>0）上的点P（x0，y0）作两条倾斜角互补的弦PA、PB，则直线AB的斜率恒等于-b2x0a2y0.（证明略）

2.过抛物线y2=2px（p>0）上的点P（x0，y0）作两条倾斜角互补的弦PA、PB，则直线AB的斜率恒等于-py0.

证明：设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.直线AB的斜率为kAB.

由y21 = 2px1

y20 = 2px0 y21 -y20♂ = 2p（x1 -x0 ），则则kPA=y1-y0x1-x0=2py1+y0（x1≠x0）。

同理，得则kPB=2py2+y0（x2≠x0）.由PA、PB的倾斜角互补知kPA=-kPB，即2py1+y0=-2py2+y0即y1+y2=-2y0，

故，则kAB=y2-y1x2-x1=2py1+y2（x1≠x2）

将y1+y2=-2y0（y0>0）代入上式得kAB=2py1+y2=-py0.则kAB=-py0为非零常数。