近似连续点与Lebesgue点的性质及其应用

黄政，刘志杰

(贵州师范大学 贵州省信息与计算科学重点实验室，贵州 贵阳 550001)

0 引 言

在科学计算、大数据智能分析、点云计算以及安全模型设计等应用领域，在构建数学模型过程中，结合函数与相关的数值算法，对相应的数据进行处理，其中近似连续点与Lebesgue点作为函数性质里的重要内容，值得系统分析.现进一步总结与讨论函数的近似连续点与Lebesgue点的性质和推广，优化分析方法，并讨论一些具体应用.

1 预备概念

注：由于0≤mE(x0，h)≤m{[x0-h，x0+h]}=2h，因此0≤ρE(x0)≤1，显然，对于满足0<ρE(x0)<的点x0，既不是f(x)的稠密点也不是其稀薄点.

定义5[2]设函数f(x)定义在闭区间[a，b]上，设x0∈[a，b].若在[a，b]中存在可测集E，以点x0为其稠密点，且f(x)限制在集E时在点x0处连续，则称在f(x)点x0处近似连续，点x0称为f(x)的一个近似连续点.

2 主要结论

定理2Lebesgue可积函数的所有连续点都是Lebesgue点.

证明：结合函数连续性的定义以及定义1显然可证得.

注：该定理的逆命题不成立，即Lebesgue可积函数的Lebesgue点不一定是连续点.例如在例3.1中的Dirichlet函数D(x)在R中Lebesgue可积，且在任意点处极限不存在，在R中处处不连续，因此在无理数集RQ也不连续，但其Lebesgue点集为无理数集RQ.另外，任意函数的任一孤立点一定不是Lebesgue点.

定理3对于任意可积函数，若存在一阶不可去间断点，则该间断点必定为非Lebesgue点

注：对于第二类间断点，则可能为Lebesgue点.例如在例3.1中的Dirichlet函数D(x)在R中处处不连续，间断点为第二类间断点，其Lebesgue点集为无理数集RQ.

证明：可结合可测集的定义以及定义2进行证明.

定理5[3]任意函数的连续点必为近似连续点.

注：显然，任意函数的任一孤立点一定不是近似连续点.函数的近似连续点不一定是连续点.(可见结论2.6的注中的例子).由文献[3]可知：可测函数可以没有连续点.在定理6的注中，便是一例子.

定理6函数f(x)∈L1([a，b])，则闭区间[a，b]中的点几乎都是Lebesgue点.

现可证明：集合[a，b]G中的点都是Lebesgue点.

注：由该定理知：闭区间[a，b]上的Lebesgue可积函数f(x)，其所有Lebesgue点所构成的集合必为稠密集.结合文献[5]，又由于稠密点一定是凝聚点，故Lebesgue点所构成的集合必为聚集.由于孤立点一定不是稠密点，故任意函数的定义域中任一孤立点均不是Lebesgue点.

证明；方法类似定理6的过程.

注：对于p=1，即为结论2.6的情形.而对于0

定理7对于任意Lebesgue可积函数f(x)，其所有Lebesgue点都是近似连续点.

先证明：函数f(x)限制在集H上时在点x0左连续.

f(x)限制在集H2上时在点x0右连续.因此，点x0为f(x)限制在集H1∪H2上的连续点.

现在证明点x0为f(x)限制在集H1的左稠密点.

对于∀h>0，且hhN3+1成立.

注：上述命题的逆命题则不成立.即存在Lebesgue可测函数，其某个近似连续点不是Lebesgue点.现构造函数

可以证明点x=0是f(x)的近似连续点，但不是Lebesgue点，也不是连续点.

若对Lebesgue可积函数f(x)适当加强条件，则可以使其所有近似连续点都是Lebesgue点.下面的结论2.6[3]便是其中一个情形.

定理8有界可测函数的Lebesgue点集合与近似连续点集合是相同的.

证明：由上述结论2.5[3]可知：可测函数的Lebesgue点必为近似连续点；现只需要证明：可测函数在“有界”限制下，近似连续点必为Lebesgue点即可.

3 应 用

例2 对于R上的Riemann函数，定义为

结合文献[5]-[7]分析可知，对于R(x)定义在R时，在x=0，1及一切无理点处连续，而在R内的一切有理点处间断.因此其Lebesgue点集为RQ，而非Lebesgue点集为Q，由于点集Q为可数集且mQ=0，从而R中几乎所有的点为Lebesgue点.由定理5可知：在R内一切无理点都是R(x)的近似连续点.