毒素影响下具有避难所的捕食-食饵系统的最优收获

王琼燕，赵 春

（天津师范大学数学科学学院，天津300387）

随着科技和工业的发展，人们对自然资源的需求越来越大，过度开发的现象比较严重，这既造成了环境污染，也直接威胁到了人类的生存.因此，生态平衡的保护和生态资源的可持续利用成为了亟待解决的问题.相关学者建立了大量的生物种群模型来研究生态系统的运行规律以及人类对生态系统的开发利用.Leslie-Gower模型是捕食-食饵系统中一类重要的模型，众多学者对该模型进行了深入的研究.文献[1]通过构造恰当的Lyapunov函数证明了系统正平衡点的全局稳定性；文献[2]在模型的食饵种群中加入了避难所，证明了避难所不会影响系统运行的持久性；文献[3]讨论了在毒素的影响下捕食系统的捕获问题；文献[4]对具有毒素的捕食-食饵系统的最优税收模型进行分析，得到外界毒素对种群的影响和最优税收；文献[5]对具有食饵避难所的Leslie-Gower捕食系统的捕获进行了分析，得到最优捕获策略.本文研究一类毒素影响下具有避难所的捕食-食饵系统的最优收获问题，建立如下模型：

其中：x（t）为食饵种群在时刻 t的密度，y（t）和 z（t）分别为2个竞争捕食种群在时刻t的密度；r1＞0、r2＞0、r3＞0分别为3个种群的内禀增长率；r1/a1＞0为x种群的环境容纳量；m为在避难所中的食饵种群的比例，0＜m＜1；q1（1-m）＞0和q2＞0分别为对x和z种群的可捕获系数；E1＞0和E2＞0分别为对食饵种群x和捕食种群 z进行收获的努力度；θ1x3、θ2y2和 θ3z2分别为外界毒素对种群x、y和z的影响；系数bi、ci＞0，i=1、2.为了避免过度捕捞，需假设0＜q1E1（1-m）＜r1，0＜q2E2＜r3.根据实际意义可知，系统（1）仅在区域R+={（x，y，z）|x>0，y>0，z>0}内有意义.

1 平衡点的存在性

解得：

由r1＞q1E1（1-m）知，令，则是系统（1）的平衡点.

（2）p2（x1，y1，0）满足方程组

消去y，整理得

其中：

由文献[6]知，此方程存在正根需满足A4＜0.由r1＞q1E1（1-m）知A4＜0，则方程存在唯一正根x1，所以可得系统（1）的平衡点p2（x1，y1，0）.

同理可得p3（x2，0，z2）也是系统（1）的平衡点.

（3）p4（x*，y*，z*）满足以下方程组

整理得

其中：

由文献[6]知此方程存在唯一正根需满足D4＜0且D5＜0.

若

则D4＜0.由r1＞q1E1（1-m）知D5＜0.此时可得系统（1）的平衡点p4（x*，y*，z*），其中

2 平衡点的稳定性

其特征值为 λ1=r2＞0，λ2=r3-q2E2＞0，所以是不稳定的.

平衡点p2（x1，y1，0）对应的Jacobi矩阵的特征方程为

其中：

由q2E2＜r3知k3＜0，则由文献[6]知此方程至少有一正根，即此方程的特征值λ1＞0，所以平衡点p2（x1，y1，0）是不稳定的.

平衡点p3（x2，0，z2）对应的Jacobi矩阵的特征方程为

其中：

由r2＞0知g3＜0，则由文献[6]知此方程至少有一正根，即此方程特征值λ2＞0，所以平衡点p3（x2，0，z2）是不稳定的.

下面分析p4（x*，y*，z*）的稳定性.

定理1当n1n2-n3＞0时，正平衡点p4（x*，y*，z*）是局部渐近稳定的，其中

证明系统（1）在正平衡点p4（x*，y*，z*）处的Jacobi矩阵为

计算得特征方程为 λ3+n1λ2+n2λ +n3=0，显然由Routh-Hurwitz判据知平衡点p4是局部渐近稳定的.

定理2正平衡点p4（x*，y*，z*）是全局渐近稳定的.

证明构造Lyapunov函数 V（x，y，z）

显然 V（x，y，z）是关于变量 x、y、z的连续函数，计算得

所以

由此得，当（x，y，z）=（x*，y*，z*）时，系统取得全局最小值，即

对 V（x，y，z）沿着系统（1）求导，得

3 生物经济平衡点

生物经济平衡点[7]是生物平衡点和经济平衡点的合称.由可得生物平衡点.当经济利润被完全消耗时得到经济平衡点，这种平衡状态也称为经济学过度捕捞.

假设x、z种群的单位捕获成本不变，分别为f1、f2；单位x、z种群的市场价格也是常量，分别为p1、p2.捕获2种群的纯利润为Q=Q1+Q2，其中：

Q1和Q2分别为捕获x和z种群得到的纯利润.假设p1q1（1-m）x≥f1，p2q2z≥f2.

定理3若

则系统存在经济平衡点 M（x1∞，y1∞，z1∞，E1∞，E2∞）.

证明经济平衡点M满足

解得

当式（3）和式（4）成立时，E1∞＞ 0，E2∞＞ 0.因此存在经济平衡点.

下面分析避难所对经济平衡点的作用，分2种情况进行讨论.

（1）捕食者不能捕获到避难所里的食饵种群.

此时，经济平衡点M和定理3中的相同，M的每个变量关于避难所m均连续可微，且满足

由此可知，当避难所增大时，食饵种群x的平衡密度是增加的.捕食种群y和z的经济平衡不受避难所的影响，由于避难所增大使可以捕获到的食饵种群x的数量减少，但是x1∞的增大又减弱了y、z种群之间的竞争，两方面作用相互抵消了.因此，对捕食种群z的捕获努力度也不受避难所的影响.

对于食饵种群x的捕获努力度来说，可得以下结论：

（2）捕食者可以捕到避难所中的食饵种群.

假设 p1q1x≥f1，p2q2z≥f2，此时经济利润函数为

定理4若

则系统存在经济平衡点M′（x*1∞，y*1∞，z*1∞，E*1∞，E*2∞）.

证明经济平衡点M′满足下列方程

解得

当式（5）和式（6）成立时，E*1∞＞ 0，E*2∞＞ 0.因此存在经济平衡点.

经济平衡点M′的每个变量关于避难所m均连续可微，且满足

由此可知，在这种情形下，当避难所增大时，食饵种群x和捕食种群z不受影响.因为m增大，使得y、z之间的竞争加大，则种群y的平衡密度减小.对于捕获努力度而言，捕获种群x的努力度随着避难所的增大而增大，而捕获种群z的努力度随着避难所的增大而减小.

4 最优收获策略

捕获者的目的是在资源可持续利用的基础上获得最大的纯利润.考虑下面的贴现函数

其中δ为贴现率.下面通过确定最优收获努力度E1=Eδ1和E2=Eδ2，使得J在满足系统（1）和控制条件下取得最大值.控制问题的Hamilton函数为

其中 λ1、λ2、λ3为伴随变量.令

为转换函数.使H取得最大值的最优控制应满足

当φi（t）=0（i=1、2）时，Hamilton函数H与控制变量无关，即，满足此条件的控制为奇异控制.奇异控制满足φi（t）=0（i=1、2），即

则最优收获策略应满足

由极大值原理知

由式（7）和式（8）可得

将 λ1代入式（10）得

将 λ1、λ2、λ3代入式（9）和式（11）得

由式（2）知

所以式（12）和式（13）可转化为

若此方程存在正根 x=xδ，z=zδ，则可得

若

则得到的控制 E1=Eδ1、E2=Eδ2即为最优常量控制，相对应的（xδ，yδ，zδ）是系统（1）对于该控制的正平衡解.