考虑水平摩阻力和大变形的刚性桩网复合地基桩土应力比计算方法

郎瑞卿，闫澍旺，孙立强，陈 静



考虑水平摩阻力和大变形的刚性桩网复合地基桩土应力比计算方法

郎瑞卿，闫澍旺，孙立强，陈 静

(天津大学建筑工程学院，天津 300072)

为了研究水平摩阻力对加筋垫层挠度和复合地基桩土应力比的影响，以单桩处理范围内的刚性桩网复合地基为研究对象，考虑加筋垫层的大变形效应和三维尺寸效应，运用大挠度薄板理论对加筋垫层荷载传递特性进行分析，建立其挠度控制微分方程，并结合真实边界条件和桩土相互作用，将荷载传递过程分为假定状态和实际状态，运用伽辽金法和功能原理对其挠度进行分步求解．在此基础之上，利用Winkler地基梁理论对桩土应力比进行计算．采用室内足尺试验对计算方法进行验证，并综合分析土体基床系数、桩间距、桩径和界面摩擦刚度等因素对桩土应力比的影响．研究表明：理论计算结果与试验结果较为吻合，桩土应力比随桩间土基床系数和桩径的增大而减小，随桩间距、界面摩擦刚度和桩体基床系数的增大而增大，成果可为工程实践提供参考．

刚性桩网复合地基；桩土应力比；水平摩阻力；加筋垫层；薄板理论

近年来，刚性桩网复合地基被广泛应用于高速公路软土地基加固工程中．为了使刚度差异较大的桩和桩间土能够共同承担荷载并协调变形，通常在刚性桩复合地基中设置由碎石和土工格栅组成的加筋垫层．碎石和土工格栅将荷载传递至桩体和桩间土的同时，两者也会产生水平向相对位移并产生摩阻力，进而影响桩土应力比．因此，求解复合地基桩土应力比时，需要考虑水平摩阻力的影响．

对于这一课题，学者们通常将加筋垫层视为梁板结构，通过改进的地基梁理论或薄板理论对其进行模拟，并在考虑界面水平摩阻效应的作用下对桩土应力比等问题进行求解．地基梁方法的理论基础是考虑水平摩阻力的改进弹性地基梁模型：张福海等[1]、赵明华等[2-3]基于双参数地基梁理论，提出了只考虑摩阻效应对结构剪力影响的桩土应力比及沉降计算方法，但由于这两种方法忽略了其对弯矩的影响，导致计算结果均较为保守；Zhang等[4]、张玲[5]、马缤辉[6]等通过建立摩阻力与界面相对位移的函数关系，提出了同时考虑水平摩阻力对地基梁剪力和弯矩影响的计算方法，但以上方法只适用于二维空间问题求解，将实际三维问题简化为二维问题进行计算必然会对计算精度产生影响．为了克服地基梁方法的不足，许多学者提出利用能够考虑三维效应的薄板理论对该课题进行分析，如赵明华等[7]、刘猛[8]在极坐标系内利用小挠度薄板理论模拟土工格室，推导了薄板水平-竖向变形耦合作用下的挠度控制方程，并利用Bessel复变函数对双向增强体复合地基的桩土应力比、沉降等进行了求解，但以上方法基于小挠度薄板理论，而实际工程中加筋垫层挠度通常与其厚度为同一量级，故其受力变形特性与大挠度薄板特性更为接近；而饶为国等[9]、郑俊杰等[10]、张军等[11]较多学者虽然利用大挠度薄板理论对刚性桩-网复合地基的桩土应力比、沉降等特性进行了分析，但以上分析均没有考虑水平摩阻力的影响，且多假定薄板四边为简支约束，与实际条件不符．

由此可见，以上成果对计算考虑水平摩阻力下的刚性桩-网复合地基桩土应力比具有良好的指导意义，但目前研究中加筋垫层的理论模型假定或边界条件均与实际情况存在一定差异．因此，在考虑加筋垫层真实边界条件、大挠度变形特性和界面水平向摩阻共同作用下，对桩土应力比进行求解具有重要意义．

本文将单桩处理范围内的刚性桩-网复合地基作为研究对象，结合加筋垫层在竖向荷载作用下的应力应变特性，选用大挠度薄板理论对其进行模拟[12]；在三维空间内，考虑水平向摩阻力和中面转角对薄板受力影响，分析薄板的受力变形特性，推导其挠曲变形微分控制方程，结合实际工程中真实边界条件和桩土相互作用，将荷载传递过程分为假定状态和真实状态，并运用伽辽金方法对其挠度进行分步求解；在此基础之上，通过温克尔地基梁理论对桩土应力比进行了计算；并运用室内足尺试验验证计算方法的适用性；最后，运用单一变量法分析了桩径和桩间距等因素对桩土应力比的影响．

1 计算模型和受力分析

1.1 基本假定及计算模型

选取刚性桩网复合地基单桩处理范围内的矩形单元作为研究对象，包括加筋褥垫层、4根1/4桩和桩间土，坐标原点为左下角桩中心，如图1所示．单桩处理范围内填土高度为，填土容重为，单桩处理面积为，其中，刚性桩横截面积为p，应力为p；桩间土面积为s，对应应力为s．

图1 计算单元示意

结合实际状态中土工格栅的变形特点，选用大挠度薄板理论进行模拟．且由于土工格栅和碎石垫层界面存在咬合力，故假定薄板由土工格栅和一定厚度的碎石共同组成[10-11]．将桩简化为弹簧支座，土工格栅其余位置均为自由边界，变形后的边界条件如图2所示．

图2 计算单元边界约束示意

由图2可知，薄板4个角点为弹簧支座，故在填土荷载作用下会产生向下位移，其大小与桩土应力比、桩间土和桩端土性质有关，不能直接求出．结合前人研究成果[13]，可将计算过程分为假定状态和实际状态，假定状态中将桩体视为简支支座，即不产生竖向位移，其他位置为自由边界，对该状态下的薄板挠度、桩土应力比进行求解；实际状态中四角点为弹簧支座，受到外荷载作用向下产生位移，薄板形状也进一步变化．利用功能原理，将假定状态中求得的挠度、桩土应力比等结果带入实际状态求解中，运用迭代法对符合实际情况的挠度和桩土应力比进行求解.

为较好地模拟薄板与碎石的摩擦特性，引入佐滕悟模型[14]，设薄板沿方向位移为，则水平摩阻力与的关系如图3所示．

图3 薄板与碎石摩阻力模型示意

和两个方向的摩阻力对薄板的受力变形均有影响，故分析时需考虑两个方向的摩阻力，以方向为例进行说明，受力分析如图4所示．

图4 计算模型受力分析图

假定薄板受到均布外荷载的作用，桩间土反力为，其中，为薄板承担的荷载．薄板上、下界面水平摩阻力分别为fs和fx．

根据图3可知，当摩擦处于弹性阶段时，方向的摩擦力f与相对位移呈正比例关系，其表达式为

 (1)

式中：为薄板厚度；为薄板中性面沿方向位移；s和x分别为薄板上、下界面摩擦系数．令

   (2)

则式(1)可表达为

   (3)

计算中首先对假定状态中薄板的挠度方程、水平位移方程进行求解，根据该状态中边界条件，可假定其分别为

   (4)

   (5)

式中：、为两边桩间距；、为挠度系数，＝/，＝ω/，ω和ω分别为边长为、的边上对应的最大挠度；3为待定系数．

1.2 受力分析及挠度微分控制方程的建立

取图4中薄板微元进行分析，任意点受到的拉力T和T为

   (6)

式中σ、σ为薄板中面应力．引入应力函数(，)，则有

   (7)

设中面上任意点(，)的应变分量为ε、ε和γ，则有

   (8)

大挠度薄板中面的应力与挠度的关系为

   (9)

将式(6)～(8)带入式(9)，可得

 (10)

大挠度薄板中性面的转动会影响到受力平衡.取薄板中微元为研究对象．先对其水平向受力进行分析，如图5所示．

图5 微元水平向受力示意

结合图5和水平受力平衡可知

   (11)

由图6可知，剪力的向合力为

   (12)

式中fx为由水平摩阻力引起剪力变化量．

大挠度薄板上某点水平摩阻力f产生的弯矩为

   (13)

则面上的剪应力为

   (14)

对上式积分可得

   (15)

则摩阻力引起的剪力f为

   (16)

中性面转动引起的微元拉力变化如图7所示．

图7 微元拉力变化示意

对图7进行受力平衡分析，可得T在方向的变化量为

   (17)

根据式(12)、(17)和方向的受力平衡可得

(18)

根据大挠度薄板理论，剪力和弯矩与位移函数的关系为

   (19)

将式(6)、(16)和(19)代入(18)中并化简，可得考虑水平向摩阻力的大挠度薄板挠曲变形微分方程为

 (20)

2 桩土应力比求解

2.1 假定状态求解

求解思路为先对应力函数进行求解，再通过应力函数对位移函数进行求解．

将式(4)和(5)代入(9)，可得

 (21)

设方程(21)的解由特解p和通解h组成．设其特解p为

   (22)

将式(22)带代入(21)中并比较等式两边的系数可得

   (23)

故方程(21)的特解p为

 (24)

其通解h可按以下过程求解．

假定P为＝0和＝a两边上某点平均应力，P为＝0和＝b两边上某点平均应力．由于除4角点外其余位置均为自由约束，故P与有关，P与有关，故设P与P如下式

   (25)

则h可写成如下形式

   (26)

故应力函数的表达式为

   (27)

由于路堤荷载为均布竖向荷载，且无水平荷载作用，故＝0与＝a两条边无相对位移，同理＝0与＝b两条边无相对位移，即

   (28)

由虎克定律可知

   (29)

式中为泊松比．

整理可得

   (30)

根据莱布尼茨公式及式(30)可得

(31)

将式(4)和(27)代入式(31)并积分，结合边界条件整理可得

   (32)

将式(32)代入式(27)，即可得到应力函数的表 达式．

假定外力作用下大挠度板的内力虚功为δ，虚位移对应的外力虚功为δ，则根据虚功原理可得

   (33)

   (34)

外力虚功为薄板上弯矩、广义剪力和薄膜力与对应转角、位移的乘积和．根据虚功原理，将式(4)、(7)、(19)、(34)代入式(33)，并引入伽辽金方程进行化简，可得

    (35)

式中

观察式(35)可知，需要两项积分分别等于零才能满足其整体零，故式(35)变化为

   (36)

对式(36)进行积分并化简，可得

  (37)

根据大挠度薄板最小势能原理可知，存在3使得外力荷载作用下薄板的总势能最小．运用里兹 法[12]可得

联立式(37)和(38)，即可求得和，代入式(4)，则可得到其挠度方程．在此基础之上，桩间土反力s可通过Winkler地基梁理论计算得到，则桩土应力比可按式(39)计算．

2.2 实际状态求解

实际状态中，桩受到外荷载向下卧层刺入，进而影响薄板的挠度方程．该过程是“网-桩-土”协调变形的过程：初始状态为假定状态计算得到的挠度和桩土应力比，经过多次协调变形后达到最终状态，此时桩体刺入增量D为零，桩土应力比不再变化．因此，需要以假定状态为初始状态进行迭代计算至最终状态，以迭代过程中第次为例说明：桩顶受到荷载pp,,i-1，产生刺入量为δ，该过程中桩间土上方(不包括桩顶上方)薄板受到外力q-1做功W，等于薄板变形能和势能的变化．

   (40)

薄板在桩与桩间土交界处位移连续，故可假定变形后薄板挠度ω为

   (41)

式中：m为待定系数；ω-1为第-1次协调变形后薄板挠度，其初始值0为假定状态得到的挠度，即式(4).

根据已有研究成果[7]，桩沉降量δ可根据Winkler理论进行计算，即

   (42)

式中p为桩体基床系数．

外力做功为

   (43)

根据闫澍旺等[13]研究可知，薄板变形能变化量DU为

(44)

势能变化量Dp为

   (45)

式中为薄板重力．

将式(41)～(45)代入式(40)，可解得m，进而可得到其挠度和桩土应力比．

(1) 输入外荷载、桩间距、薄板厚度等参数，根据式(37)～(39)计算得到假定状态下垫层挠度、桩和土应力等；

(2) 将上一步计算结果代入式(40)～(45)，计算桩体下刺后薄板挠度和桩、土应力等；

计算流程如图8所示．

图8 计算流程

3 实例验证

表1 碎石垫层及地基土物理力学参数

Tab.1 Physical and mechanical parameters of gravel cushion and soil

材料h/mρ/(g·cm-3)Es/MPac/kPaφ/(°) 碎石0.051.3413.3 粉质黏土3.31.504.624.126.8 细砂2.41.5517.015.337.9

由于本文方法为考虑土工格栅和碎石摩擦处于弹性阶段时的解，此时相对位移较小，故只选取荷载较小时的计算结果和实测结果进行比较．对比结果如图9所示．

由图9可知，试验结果与本文计算结果较为接近，说明本文方法较为适用，可为实际工程提供参考．随着荷载的增大，桩土应力比逐渐增大，同时计算值和试验值差值逐渐增大，分析其原因为：当荷载较大时，土工格栅与碎石之间的摩擦已经进入塑性阶段，计算时仍按弹性考虑，造成误差增大．

图9 桩土应力比计算值与试验值对比

4 各因素对桩土应力比的影响

为了研究不同因素对桩土应力比的影响，保持其他参数不变，分析桩间土基床系数z、桩间距、桩径、界面摩擦刚度和桩基基床系数p对桩土应力比的影响．

4.1 桩间土基床系数kz对桩土应力比的影响

图10 桩土应力比随桩间土基床系数变化曲线

由图10可知，桩土应力比随着桩间土基床系数的增大而减小．当土体基床系数较小时，z的增大会引起桩土应力比迅速减小，当基床系数较大时，z增大引起桩土应力比减小的趋势较为缓慢．土体基床系数反映了土体的变形能力：当基床系数较大时，土体较不易变形，此时，土体承担了较多荷载，格栅的变形较小，故桩土应力比较小；反之，土体受到外荷载作用时比较容易变形，此时格栅随土体产生较大的变形，格栅和桩体承担了较多的荷载，故此时的桩土应力比较大．

4.2 桩间距对桩土应力比的影响

图11 桩土应力比与桩间距关系曲线

由图11可知，桩土应力比随着桩间距的增大而增大．桩间距较小时，每根桩及格栅承担的填土荷载均比较小，此时桩的承载能力没有充分发挥，格栅变形也较小，故此时桩土应力比较小；当桩间距较大时，桩间土和刚性桩承担的荷载增大，此时土工格栅的变形也较大，由于加筋垫层的作用，将更多的荷载传递至刚性桩，造成桩土应力比的增加．

4.3 桩径对桩土应力比的影响

由图12可知，桩土应力比随着桩径的增大而减小．当桩间距等参数不变时，桩径越小，土工格栅的变形越大，较多的荷载传递至刚性桩，故桩土应力比较大；随着桩径的增大，土工格栅的变形减小，且桩顶应力集中现象减弱，桩土应力比降低，但当桩径大于一定值后，桩径增加引起桩土应力比减小幅度降低．在实际工程中，需合理选择桩间距和桩径．

4.4 界面摩擦刚度对桩土应力比的影响

图13 桩土应力比与ks/kz关系曲线

由图13可知，随着s/z增大，桩土应力比增大．在其他条件不变的情况下，界面刚度系数越大，两者之间的摩阻效应越明显，格栅的拉力越大，故通过格栅传递至刚性桩的荷载增大，桩土应力比增大．实际工程中，在考虑经济合理的前提下，可以适当增加格栅表面粗糙程度．

4.5 桩基基床系数kp对桩土应力比的影响

图14 桩土应力比与kp关系曲线

由图14可知，随着p增大，桩土应力比增大，但增大幅度逐渐降低．p越大，桩体下沉量越小，桩土差异沉降越大，更多荷载通过协调传递至桩体，但p较大时沉降增量已经较小，因此传递荷载的增量也较小，故桩土应力比增长幅度降低．

5 结 论

本文考虑格栅与碎石垫层的水平向摩阻效应，基于大挠度薄板理论，建立刚性桩网复合地基的桩土应力比计算方法．主要结论如下．

(1) 运用大挠度薄板对路堤荷载作用下加筋垫层进行模拟，综合考虑界面水平摩阻力和真实三维边界条件，推导得到其挠度控制微分方程，将荷载传递过程分为假定状态和实际状态，并运用伽辽金方法分步求解得到了刚性桩网复合地基桩土应力比的计算方法．

(2) 运用室内大比尺试验对本文计算方法进行了对比验证，计算得到的桩土应力比与试验值吻合性较好，该方法可为实际工程提供参考．

(3) 运用本文方法综合分析了不同因素对桩土应力比的影响，发现桩土应力比随桩间土基床系数和桩径的增大而减小；随桩间距、界面摩擦刚度和桩基基床系数的增大而增大．

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(责任编辑：樊素英)

Calculation of Pile-Soil Stress Ratio of Rigid Pile-Net Composite Foundation Considering the Effect of Horizontal Frictional Resistance and Large Deflection

Lang Ruiqing，Yan Shuwang，Sun Liqiang，Chen Jing

(School of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

To study the influence of horizontal friction resistance on the deflection of reinforced cushion layer and the stress ratio of pile-soil in composite foundation，the rigid pile-net composite foundation in the effect area of single pile was taken as the research object．Considering the large deflection effect and three-dimensional effect of reinforced cushion，load transfer characteristics were analyzed using large deflection thin plate theory，and the governing differential equation of geogrid flexure deformation was established．Combined with the true three-dimensional boundary conditions and pile-soil interactions，the load transfer process was divided into assumed and actual states．The corresponding solution was deduced by Galerkin method and the principle of function．Based on the deformation of the reinforced cushion layer，the pile-soil stress ratio of rigid pile-net composite foundation was calculated by Winkler foundation beam method．The calculation method was validated by indoor full scale tests．The factors that affect pile-soil stress ratio，such as soil bed coefficient，pile spacing，pile diameter and interface frictional stiffness，were systematically analyzed．It is shown that the analytical solutions show good agreement with the measured data．The pile-soil ratio decreases with the increase of soil bed coefficient and pile diameter，while it increases with the increase of pile spacing，interface friction stiffness and Winkler modulus of pile．The proposed method can be applied in engineering practices.

rigid pile-net composite foundation；pile-soil stress ratio；horizontal friction resistance；reinforced cushion；thin plate theory

TU

A

0493-2137(2018)10-1086-10

10.11784/tdxbz201711049

2017-11-13；

2018-03-21.

郎瑞卿（1991— ），男，博士研究生，langruiqing@tju.edu.cn.

闫澍旺，yanshuwang@tju.edu.cn.