浅谈空间向量与立体几何

王龙

高考对立体几何平行与垂直的考查是高考的热点和重点，可以考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质，也可以考查线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质，解题思路有几何法和向量法两种.对空间角的考查重点考查异面直线所成角、线面角、二面角，思路也有两种，几何法与坐标法，几何法运算量小，但辅助线不易做，坐标法思路明晰，但运算量大，容易出错。利用空间向量解决立体几何问题，考查空间向量能力和运算求解能力和转化与化归思想。

一、刻画直线与平面方向的向量

1.直線

用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定

2.平面

用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面垂直的直线称为平面的法线，法线的方向向量就是平面的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？

（1）所需条件：平面上的两条相交的直线。

（2）求法：（先设再求）设平面的法向量为，若平面上所选两条直线的方向向量分别为，则可列出方程组，利用数量积为零解出的比值即可。

二、空间向量可解决的立体几何问题。

1.判定类

（1）线面平行：

（2）线面垂直：

（3）面面平行：

（4）面面垂直：

2.计算类：

（1）两直线所成角：

（2）线面角：

（3）二面角：或（视平面角与法向量夹角关系而定）

（4）点到平面距离：设为平面外一点，为平面上任意一点，则到平面的距离为，即在法向量上投影的绝对值。

三、点的存在性问题

立体几何在高考解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧。

解答此类题目，以2016全国卷Ⅲ，以第19题为例：

例1、如图，四棱锥P?ABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（I）证明MN∥平面PAB；（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值。

试题分析：

试题解析：

（I）由已知得.取的中点，连接，由为中点知，. 又，故，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.

（II）取的中点，连结.由得，从而，且。以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，，，，，，，.

设为平面的一个法向量，则

即

可取.于是.

考点：空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角.

技巧点拨：

（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证。

（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理。

三、向量法解决二面角问题

解答本此类题目，以2017全国卷Ⅲ，理19第二问为例：

例2、如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD.

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.

试题解析：由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则.

由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得.

故.

设是平面DAE的法向量，则即

可取.设是平面AEC的法向量，则同理可取.则.所以二面角D-AE-C的余弦值为.

考点：二面角的平面角；二面角的向量求法

技巧点拔：

（1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算时，要认真细心，准确计算。

（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等，故有，求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。

四、量法解决立体几何探索性问题

解答本类题目，以2016北京，理17 第三问为例：

例3、如图，在四棱锥中，平面平面，

，，，，，.

（I）求证：平面；

（II）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

（III）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

试题解析：

（I）、略

（II）如图建立空间直角坐标系，由题意得，A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，1）

设平面的法向量为，则即令，则.所以.又，所以.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（III）设是棱上一点，则存在使得.

因此点.因为平面，所以平面当且仅当，即，解得.所以在棱上存在点使得平面，此时.

考点：空间线面垂直的判定定理与性质定理；线面角的计算；空间想象能力，推理论证能力。

技巧点拔：

平面与平面垂直的性质定理的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个平面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直（必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系），构造（寻找）二面角的平面角或得到点到面的距离等。

高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查空间想象能力，线面关系、面面关系、数形结合的思想等。

高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是利用立体几何的知识证明线面关系、面面关系；一种是考查学生利用空间向量解决立体几何的能力.重点对该部分内容的考查仍将以能力考查为主，要求学生有良好的空间想象能力和立体几何素养。