数形结合思想在二次函数中的应用

张茹

摘要： 数与形是数学中的两个最古老，中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。二次函数是初中数学教学的重要内容，集中体现了数形结合思想，本文结合二次函数的数学，探寻渗透数形结合思想的有效策略。

关键词： 数学结合；二次函数；应用

著名数学家华罗庚先生在谈到数形结合的好处时曾作诗赞美：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。”数形结合思想是指导学生数学学习的重要数学思想之一，掌握数形结合的方法，可以极大地提高学生的数学学习效果，训练学生的数学思维，让学生终身受益。二次函数作为初中数学教学的重要内容，集中体现了数形结合思想，是训练数形结合方法的良好载体。

“数（代数）”与“形（几何）”是数学的两个基本研究对象，这两个内容既互相独立又互相联系，体现在数学解题过程中包括“以数解读形”和“以形分析数”两个方面。数形结合思想就是把数和形有机组合，使数学问题得到转化，“形”让“数”更具体明了，“数”使“形”更形象灵活。因此，数形结合思想在数学解题中有广泛的应用。数形结合思想在二次函数中的应用比较广泛，借助数形结合思想可以方便快捷地解决二次函数问题，怎样利用数形结合思想解决二次函数问题呢？要在解题中有效实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：第一，以数轴、坐标系为桥梁把函数图象几何化；第二，利用面积、距离、角度等几何量来解决二次函数问题。

一、二次函数中的形转数

二次函数图象的顶点在原点0，经过点A（1，1）；点F（0，1）在y轴上，直线y=1与y轴交于点H。（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线=y-1交于点M，求证：FM平分∠OFP。解析：二次函数的解析式可以顺利解决，对于（2）点P是（l）中图象上的点，过点P作X轴的垂线与直线=y-1交于点M，求证：FM平分∠OFP；我们要挖掘图象蕴含的信息，PM平行于y轴，可得∠OFM=∠PMF，接下来探究乙PMF是否等于∠PFM，因为P在二次函数的图象上，可以设出P点的坐标，那么由P向y轴作垂线段PB，构造直角三角形，利用勾股定理表达出PF的长度，依据P的坐标可以表示PM的长度，那么可以证明PF=PM，于是可以得到∠PM=F乙PFM，所以∠OFM=∠PFM，结论得到证明。本题的解决依赖于通过“数”：PM、PF的长度的表达式证明二者相等，数相等，线段长相等，通过“形”的状态得到“数”的性质，又通过“数”的性质演绎出“形”的状。

二、二次函数中的数转形

数学语言主要有文字语言，符号语言，图象语言三种形式。在解决问题时，可以选择最理想的形式表现内容，也可以把三者结合起来互相对照，互相印证。二次函数图象与性质中，主要要教会学生会理解文字语言，符号语言，图象语言，能将这三者统一联系起来，能够根据关系式画出图象，能够根据图象求解出关系式，能够根据问题中所给的条件画出符合条件的图象，求出对应的关系式，或者是系数之间的关系等等。在教学中让学生多感受体验不同形态的数学语言，将这些数学语言理解转化到自己的知识结构中，更能灵活的运用性质，有意识的训练培养学生数形结合的思想。如例子：实数a在什么范围内取值时，关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根大于-2，一个根小于3？分析：如果单纯的从一元二次方程的角度去考虑问题，解题复杂，并且不容易求解出答案。将问题转化为二次函数y=3x2-5x+a=与x轴相交于两点，且两点满足的关系是一个大于-2，—个小于3，求a的取值范围。用数形结合的思想，画出函数的图象，结合图象列出满足的关系式，从这方面考虑问题就简单化了。根据函数系数的特征得到图象的基本性质开口方向向上，对称轴在正半轴，画出草图如图所示，根据图象的性质得到满足的条件为：当x=-2时，y>0；当x=3时，y>0。列出不等式组：3x（-2）2-5x（-2）+a>0，3x32-5x5+a>0，不等式组的解集即是a的取值范围。

三、总结

数形结合思想在二次函数中的应用价值及其运用方法，也就是只要充分挖掘题中所蕴含的信息，借助坐标系及相应的几何知识，利用数形结合的方式，就可以寻找到解题的有效途径，不再让二次函数成为难题和困扰，使解题成为一种快乐的体验。数形结合思想方法可以比较容易地把抽象难懂的知识内容转化为形象易学的知识，教师应通过认真研读教材，挖掘渗透数形结合思想的教学内容，灵活应用恰当的教学方法，借助有效的教学手段，有的放矢地进行数学思想教育，促使学生掌握数形结合的方法，巩固学生的数学基础知识，提高学生解决数学问题的能力。

参考文献

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