无理数概念的PCK内涵分析

智婧超

一、课标的要求

了解无理数的概念。

二、无理数概念的理解以及其所蕴涵的学科教育价值

（一）无理数概念

教材给出的无理数的概念是：无限不循环小数称为无理数，实质上，无理数的本质属性是与无限不循环小数的等价性，从有理数的角度来看，无理数既不是整数又不是分数。教材将认识无理數这一内容分为两个课时，第一课时主要是为了让学生感受到无理数在生活中的存在性和广泛性。第二课时主要用估算的方法得到无理数的小数表示形式，从而得出无理数的概念。

（二）无理数概念的教育价值

无理数概念这一节内容是在勾股定理及有理数概念的基础上，再一次让学生感受数不够用了，从而引入无理数将数的范围扩张大了实数。是上一章勾股定理的进一步深化，同时又是实数概念及运算的开始。

学好本节课，不仅能够发展学生的抽象能力、推理能力，同时，也让学生体会到逼近的思想和数形结合的思想。因此，在课堂中应该注意渗透这些数学核心素养。

有理数来源于生活，无理数来源于数学本身，让学生在发现无理数的过程中，进一步发展科学精神和理性思维，这也体现了本节课的教育价值。

三、无理数概念与其他数学知识的联系

小学阶段，小数的分类和分数与小数的转化关系，是探索无理数与无限不循环小数之间关系的基础。在七年级，数域扩张到了有理数数域，可以用有理数的概念来判断一个数是否是有理数，从而发现不是有理数的新数，在初中阶段，既不是整数又不是分数的数就是无理数。高中阶段，学生又将学习虚数，将数域扩充到复数数域。

八年级的勾股定理为无理数的发现奠定了基础。无理数的学习为以后学习二次根式及一元二次方程等知识做好了铺垫。

四、学生学习无理数概念的经验、困惑以及容易发生的错误

（一）学习有理数概念的经验

1.学生已经在小学学习了小数的分类，分数与小数之间的关系，体会了第一次数的扩张，对无理数的概念学习打下了基础。

2.学生在七年级上半学期，体会了数的第二次扩张， 学习了有理数的概念和分类，可以运用有理数的概念判断一个数是否是有理数，从而发现无理数这种新数。

3.八年级上第一章，学生已经学习了勾股定理，为无理数的发现奠定基础，也为学生构造无理数的线段提供了方法。

（二）学习有理数概念的困惑以及容易发生的错误

1. 学生在判断当 时， 是否为有理数时可能存在无从下手的感觉，没有解题思路。

2. 学生在构造三边分别为有理数或无理数的直角三角形时可能存在问题。

五、确定无理数概念课的教学目标

1.通过拼图活动，能根据有理数的概念判断一个数是否为有理数，从而感受无理数产生的实际背景和引入的必要性。

2.在探究过程中，提升动手实践能力、发现问题解决问题的能力和推理的能力。

3.能正确地判断一个数是否为有理数，能在方格纸中准确地表示出有理数和无理数的线段，加深对有理数和无理数的理解。

六、帮助学生获得无理数概念的教学策略

1.引入让学生再一次感受数的扩张规律，引发思考：有理数够用吗？

2.问题设置具有梯度，在让学生判断 时， 是否为有理数时，设置一系列问题： 是否为整数，是否是分数，从而得出 不是有理数的结论。

3.每一个例子之后都及时总结例子中的数是一种新数，不是学生熟悉的有理数，强化学生对生活中确实存在无理数的感受。

4.在判断线段的长度是否为有理数时，引导学生回忆勾股定理，构造直角三角形来判断。为学生构造符合条件的直角三角形打下基础。