高中数学教学中运用化归思想的案例研究

姚艳

摘 要：高中数学教学中，应用化归思想是一种有效的教学方式，不仅能提高教学效果，还能帮助学生养成良好的思维习惯，在学生脑海中构建一个完善的知识系统。本文主要分析了高中数学教学中应用化归思想的原则，并在结合实际案例的基础上探讨了应用化归思想的方法。以期帮助高中生形成良好的学习习惯，提高高中数学的教学效果。

关键词：高中数学；化归思想；案例研究

“化归”就是对问题的归结和转化，运用化归思想能够将一个问题由复杂变为简单。由于数学知识需要学生具备足够的逻辑思维能力，尤其是高中数学知识，解题思路较为复杂，涉及到的数学知识较多。运用化归思想能够帮助学生提高解题效率。所以化归思想成为了高中数学教学中的一种有效方法。教师提高学生的化归思维，等同于提高了学生的数学解题能力。

一、高中数学教学中化归思想的应用原则及案例分析

（一）简化原则

化归思想之所以能提高数学教学效果，就是因为它能将复杂的知识简化。以高中数学证明题“b-1/b=a-1/c。证明a2b2c2的结果为1”为例，许多高中生在这种类型题下不知道选择哪种方式解答。如果应用化归思想将等式简化，则原等式可以表示为b-c=bc（a-b）；b-a=ab（a-c）；c-a=ac（b-c），将这三个等式用乘法整合在一起，就可得出最终结论“a2b2c2的结果是1”[1]。

（二）直观原则

化归思想能够帮助学生将抽象的数学题用图形表现出来，使数学问题更加直观化，这是化归思想在高中数学中的直观原则。

例：求方程x2-2x-3=0的解集

解析：将此等式的解集在数轴上表示出来，然后找出y=0时，x与y交叉部分的所有数值的集合。利用化归思想中的直观原则能加深学生对题型的理解，在实际的解决数学问题的过程中，将直观原则与其他解题方法结合起来，能提高学生的解题能力，综合提升高中生的数学水平[2]。

二、高中数学教学中化归思想的应用方法研究

（一）配方法

将高中数学题中的某个式子或式子中的一部分通过恒等变形的方式变化成几个完全平方式或一个完全平方式的方法，就是配方法，是高中数学解题过程中常用的方法之一，是化归思想在高中数学中应用的体现。比如进行解决数学问题“长方体的六个面积之和是11，如果将长方体的12条棱的长度相加，则结果是24，求这个长方体对角线的长度。”我们知道，长方体有三条棱，那么用a、b、c将这三条棱表示出来，则能得到两个关系等式，然后将两个等式适当变化：2（ab+bc+ac）=11、4（a+b+c）=24，可以带入到对角线的公式当中，最终得出结果[3]。

（二）分解法

分解法是化归思想中解决数学问题的方法之一，就是将一个复杂的多项式化为几个简单的整式积的形式。由于多项式中已知的各个条件不容易求得最终的结果，而几个整式则能简化数学问题，所以分解法是高中数学解题过程中一种常用的方法[4]。

例：求下列数的前n项数的和：1=1，4+1/a，7+1/a2，10+1/a3，13+1/a4……，（3n-2）+1/a（n-1）。这是高中生经常遇到的一个类型题，如果掌握了这个类型题的解题方法，则高中生的解题效率将大大提高。

解析：用分解法解决上述问题，将每组数分成两个部分，即1+4+7+10+13+……+3n-2；1/a+1/a2+1/a3+1/a4+……+1/a（n-1）。分别求出两列数的和，相加即是最后所要求的结果，所以分别分析两组数字，第一组数字是等差数列，差是3，利用等差数列的求和公式可得这组数字的和是（3n-1）n/2。而第二組数属于等比数列，公比为1/a，所用用等比数列的求和公式计算得出第二组数列的和，最后得出问题的结果。

（三）换元法

将不标准的方程或函数转化成标准、简单、容易理解的方程或函数的方法，叫做换元法。一般情况下，在解决数学问题过程中，换元法分为“局部换元法”和“整体换元法”两种，也就是数学问题中使用换元法的程度。如果将数学问题中经常出现的未知条件或式子当做一个统一的整体，将这个整体用一个变量表示，则用其它变量替换这个变量的方法，能实现解决问题的目的[5]。

例：如果2sinα+cosα=-，那么tanα的数值是多少？

已知γ+β+α=π，那么1/8≥sinγ/2sinβ/2sinα/2是否成立？

解析：以上两种题型都可以使用换元法解决。比如第一道题中将sinα和cosα用x和y表示，则有2x+y=-，由于解决二元方程需要两个或两个以上的等式，所以根据高中数学三角函数的相关知识我们还可以得出cos2α+sin2α=1，也就是x2+y2=1，将两个方程联立起来，就可接触x和y的关系等式：y=2x，带入原有的已知条件中：2x+2x=-，x=-/4，因此cosα=-/2，sinα=-/4，tanα由公式sinα/cosα得出，即2。最终求出问题的结果。第二道题相对于第一道题难度更大一些，但是我们仍然可以通过变量代替解决，假设用字母t代表sinγ/2sinβ/2sinα/2的整体，则化简t可得t=1/2sinα/2cos（β-γ）/2-1/2sin2α/2，也就是sinα/2cos（β-γ）/2+2t=0，因为1/2sinα属于R，所以cos（β-γ）/2-4×2t≥0，所以1/8≥t，也就是1/8≥sinγ/2sinβ/2sinα/2，原问题中的假设成立。

三、结束语

综上所述，化归思想能将复杂的高中数学题简化，帮助学生提高解题效率，进而提升高中生的数学水平。所以在高中数学教学中，通过分解法、换元法等方法应用化归思想，提高教学效果，促进高中数学教学的发展。

参考文献：

[1]任夏瑜.关于高中数学教学中运用化归思想的案例分析[J].课程教育研究，2018（15）：100-101.

[2]孙崇铣.试论高中数学函数学习中化归思想的运用路径[J].中国高新区，2017（22）：87.

[3]但唐兵.高中数学教学中化归思想的应用案例分析[J].读与写（教育教学刊），2016，13（08）：118.

[4]张霞.试析化归思想在高中数学教学中的应用研究[J].学周刊，2016（18）：123-124.

[5]李昀晟.化归思想在高中数学解题过程中的应用分析[J].数学理论与应用，2015，35（04）：124-128.

（作者单位：四川省泸州市泸州高中）