关于小波分析在凸轮廓线反求去噪中的研究

欧杰

摘 要 凸轮廓线反求时，测量噪声严重影响了反求的精度和廓线的光顺等方面。利用小波分析，选用合适的参数可有效去除噪声。通过把五次多项式叠加白噪声作为原始的凸轮廓线含噪信号，应用MATLAB软件进行去噪试验仿真，得出了凸轮廓线反求信号小波去噪的一般步骤和重要参数的选取方法。

关键词 小波分析；凸轮反求；去噪

前言

凸轮反求时，无论是采用接触式还是非接触式的数据获取，都不可避免地在真实数据点中混有不合理的噪声，严重影响凸轮廓线拟合精度、曲线光顺等反求的后续环节，所以必须对噪声进行去除。

传统的傅立叶变换只能分别从时域或频域分析信号，不能给出信号在某个时间点上的频率变化情况，不适合非平稳信号的去噪。小波分析具有多分辨率分析的特点，是一种窗口大小固定但形状可变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法，在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，被誉为分析信号的显微镜[1]，特别适用于实际应用中常见的非稳定信号。

1 小波去噪的方法和步骤

小波去噪方法，从大的方面来说可以分为四类[2]：①基于小波变换模极大值原理去噪：去噪性能较为稳定，可有效地保留信号的奇异点信息，特别适合低信噪比的信号去噪；但存在小波系数重构的问题，计算量大，且分解层数的选择对去噪效果影响很大。②基于相关性原理去噪：适合高信噪比信号去噪，在分析信号的边缘方面具有优势；但计算量较大，需要进行多次迭代，还需估计噪声方差才能设定适当的阈值。③Donoho等提出的阈值方法：计算量最小，噪声几乎完全得到抑制，且反映原始信号的特征尖峰点可得到很好的保留。但在信号的不连续点处，去噪后会出现伪吉布斯现象；阈值的选取对去噪效果有很大的影响，且阈值的选取方法很多，需根据具体情况选取合适的阈值。④平移不变量小波去噪：是阈值法的改进，可有效地去除阈值去噪中的伪吉布斯现象，缺点是计算速度没有阈值法快。凸轮廓线反求时，噪声较小，且廓线是连续的，综合比较后我们采用阈值去噪法进行去噪。

噪声，特别是随机噪声，从频谱上看是一种具有较高频率的信号，去噪的目的就是通过一定的方法去除这类信号。凸轮廓线反求信号的小波阈值去噪过程一般可分为三步[3]：

（1）信号的小波分解：选择合适的小波基函数和分解层数对信号进行小波分解。小波分析具有多分辨率特性，其多分辨分析只对低频部分进行进一步分解，而高频部分则不予考虑，使频率的分辨率越来越高。分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近平方可积函数空间的正交小波基，这些分辨率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。

（2）小波分解高频系数的阈值量化处理：对各个分解层数下的高频系数选择一个阈值进行阈值量化处理。MATLAB软件中有硬阈值和软阈值两种阈值函数。硬阈值法可以保留信号的特征，但会产生附加振荡，光滑性差；软阈值法得到的小波系数整体连续性好，去噪信号相对平滑，不会产生附加振荡。我们采用软阈值法进行去噪试验仿真。

（3）信号的小波重构：根据小波分解的低频系数和经量化处理后的各层高频系数进行一维小波重构，可由MATLAB软件提供的合成重构函数实现。

2 去噪仿真试验分析

凸轮廓线反求时，测量噪声一般都集中在真实信号附近，采用五次多项式叠加白噪声：

作为原始的凸轮廓线含噪信号，式（1）中x表示含噪信号，t为时间序列，e（t）为白噪声。应用MATLAB软件进行去噪试验仿真，采用信噪比SNR（signal to noise ratio）、均方根误差RMSE（root mean square error） [4]和相当于凸轮线轮廓度误差的峰值误差PE（peak error）作为去噪评价指标。SNR值越大，RMSE和PE值越小，去噪效果越好。

2.1 分解层数的选择

噪声具有一定的频带宽度，存在于一定范围的尺度参数的分解结果中。分解层数与含噪信号的信噪比SNR有关，且分解层数越大，越有利于信噪分离；但分解层数越多，重构误差也越大。故须选择合适的分解层数，既保证噪声得到尽可能多的去除，又要使计算量最少。对式（1）进行五层小波分解，选用不同的分解层数，采用sym3函数启发式阈值软阈值小波自动去噪。结果表明，分解层数取1时去噪效果最好。

2.2 小波基函数的选择

小波去噪时基函数的选择具有多样性，选用不同的小波基函数会产生不同的去噪结果，所以对凸轮廓线反求信号去噪时，必须选择最优小波基。但最优小波基的选择问题仍是小波分析应用的一个世界性的难点，目前还没有统一的选取准则，基本上是根据小波基函数形状与去噪信号形状的相似度及仿真结果对比选取。通过对各种小波的性质比较，选取不同的小波基函数进行一层小波分解，采用启发式阈值软阈值去噪，各去噪效果如表1所示，结果表明，sym3基函数去噪效果最好。

2.3 阈值的选取

小波去噪的三个步骤中，最关键的就是如何选取阈值和如何进行阈值的量化处理，在一定程度上直接关系到凸轮廓线去噪的质量。MATLAB软件给出了四种阈值选择方法[5]：固定阈值、自适应阈值、启发式阈值和极大极小阈值。当信号只有少量的高频系数位于噪声范围内时，极大极小阈值和自适应阈值不任意丢失真实信号成分，可以将弱小的信号提取出来。另外两种阈值选取准则则可以更有效地去除噪声，但有可能将有用信号的高频部分当作噪声除去。选用不同阈值，分解层数取1，采用sym3小波基函数软阈值小波去噪，各去噪效果如表2所示，结果表明，自适应阈值和启发式阈值去噪效果一样，但启发式阈值是一种折中的选择，故选取启发式阈值去噪。

选择sym3小波基函数、分解层数取1及使用启发式阈值软阈值去噪信号与原始含噪信号比较，局部放大图如图1所示，其中实线表示含噪信号，虚线表示小波去噪信号，可以看出，利用小波分析可以有效去除噪声。

3 结束语

在凸轮廓线反求信号的小波去噪处理中，选用不同的去噪方法、小波基函数、分解层数、去噪阈值和阈值量化方法都直接影响着信号去噪处理的质量。通过对五次多项式叠加白噪声作为原始的凸轮廓线反求含噪信号，应用MATLAB软件进行去噪试验仿真，得出了小波去噪的一般步骤和重要参数的选取方法。当对不同凸轮廓线信号去噪时，只须比较不同参数的去噪效果，选择最佳去噪参数，便可高精度的实现凸轮廓线反求。

参考文献

[1] 吴瑞兰.小波阈值去噪的性能分析及基于能量元的小波閾值去噪方法研究[D].杭州：浙江大学，2003.

[2] 李奇敏.小波技术在反求工程中的若干应用[D].杭州：浙江大学，2006.

[3] 飞思科技产品研发中心.小波分析理论与MATLAB7实现[M].北京：电子工业出版社，2005：17-23.

[4] 潘洋宇.面向逆向工程的小波技术研究与应用[D].南京：南京理工大学，2006.

[5] 胡广书.现代信号处理教程[M].北京：清华大学出版社，2004：31.