行列式在高中平面几何中的应用

陈云霞

摘 要：本论文主要研究行列式在高中平面几何中的应用，通过研读大量的文献以后我主要阐述行列式在高中平面几何中的广泛应用。另外，列了些运用行列式的高考试题作为例子。因而行列式在处理高中几何数学的问题中具有重要的的作用。

关键词：行列式；平面几何

1、行列式在平面几何中的应用

有一部分平面几何问题，按照传统的高中数学解题方法，一般来说是比较困难，运用行列式的相关知识解题可以把复杂的理论问题转化为简单的计算问题。

1.1 利用行列式来证明平面上的三个点共线的充要条件

【定理1】已知平面上的三个点的坐标分别为则三点共线的充要条件是

已知给定的三个不同的点，设它们通过的直线方程是，那么这三点的坐标是满足直线的方程的。即是：

方程组是关于未知数A，B，C的齐次线性方程组，而方程组必须有不是零的解，为此三点共线的充要条件是方程组的行列式等于零。即是：

1.2 利用行列式证明三线共点的充要条件

【定理3】已知三条互不平行的直线方程，它们共点的充要条件：

设三条直线的方程分别为：

令它们相交于一点，则必须满足直线方程：

这些等式说明了，齐次方程组有非零解：

因而导致行列式必须等于零，即：

1.3 利用行列式根据三角形三个顶点的坐标求出其三角形的面积

【定理4】以平面內三点为顶

点的的面积：假设直线l的方程为：

（2）在直线外任取一点，若点到直线的距离为

，则

现设三角形的三个顶点的坐标分别为：

那么由所决定的直线方程为：

与（2）式做比较得：，

从而

因此三角形的面积可以看作是以A1A2为底，A3到A1A2的距离为高

所以

1.4 利用行列式根据三角形三条边所在的直线的方程求三角形的面积

【定理5】设三角形的三边方程分别为：

，则它们围成的三角形面积为：

1.5 利用行列式求向量所确定的平行四边形的面积为

【定理6】如果二阶矩阵，则由向量所确定的平行四边形的面积为

证明：若是以坐标原点0为起点，分别以点A，B为终点的向量，即是（如图1），则，

为邻边做平行四边形OACB，则 所求面积

过点A做x轴的垂线，交x轴于点E，过点B做平行于x轴的直线，与过点C作平行于y轴的直线交于点D，显然，可以得到三角形CDB和三角形AEO全等，则有

1.6 利用行列式求任意四边形的面积公式

【定理7】在平面直角坐标系中，设任意四边形的三边中点坐标， 则任意四边的面积为：

【例2】求顶点坐标为的四边形的面积。如图3

解：由题意可得四边形的三边AB，AD，BC的中点分别为

2. 总结

在过去的数学教育中，正是因为过于重视知识的传授和背诵，而忽略思想方法的讲解和分析，加上传统的考试制度，所以出现了“高分低能”的现象。要改变这种状态，就要狠抓数学思想方法的研究与教学。通过对上面的归纳总结，我总结出学好行列式是很重要的，另外除了可以用行列式去解决中学中的问题，平时在学习中留心观察，总结还可以用其他的高等数学知识去解决初等数学的知识。加强初等数学与高等数学之间的联系，深刻认识数学知识的本质。

（作者单位：四川省广安市前锋区桂兴初级中学校）