推陈出新挑战经典

刘海燕

摘 要：2018年高考全国卷I理科压轴题是把2011年的高考湖南文科第22题给予改编，将存在性问题改为证明恒成立问题，所以各省的经典高考真题是高考编拟的蓝本，要把握这些经典真题，灵活变化，提炼解这一类问题的方法，以不变应万变。本文从双变量问题的处理技巧出发，详述解这一类问题的常用技巧，变式应用，举一反三。

关键词：高考;一题多解;双变量消元;对数平均不等式;变量分离

一、一题多解，发散思维

题目（2018年高考全国I卷理科第21题）已知函数

（1）讨论的单调性;

（2）若存在两个极值点，证明

解：（1） f （x） 的定义域为（0， +∞）.

令 g（x） = x2 ? ax +1， 其判别式 V= a2 ? 4.

当| a |≤ 2时，V≤ 0， f ‘（x） 0， 故 f （x）在（0， +∞） 上单调递减.

当a < ?2时，V>0，g（x）=0 的两根都小于 0，在（0， +∞） 上， f ‘（x）< 0 ，故f （x）在（0， +∞） 上单调递减.

点评：这道函数与导数不等式交汇的压轴题，实质考查函数双变量问题的处理方法，采用消元思想，将二元化为一元，构造函数的单调性处理，这也是我们处理双变量问题常用技巧。

解法二（对数平均不等式）先补证对数平均不等式

点评：运用对数平均不等式，秒证，但是对数平均不等式的结论在教材

中没有给出证明，需要补充证明，对没有接触过此类方法的同学是个硬伤。

二、经典重现，原型必露

此道题目只是把2011年的高考湖南文科第22題给予改编，将存在性问题改为证明恒成立问题，所以各省的经典高考真题是高考编拟的蓝本，值得借鉴。

题目（2011 年高考湖南文 科第22题）

（Ⅰ）讨论函数 f （x） 的单调性。

（Ⅱ）若 f （x） 有两个极值点 x1 ， x2 ，记过点 A（x1， f （x1 ））， B（x2 ， f （x2 ）） 的直线

斜率为k 。问：是否存在a ，使得k = 2 ? a ？若存在，求出a 的值;若不存在， 请说明理由。

三、双剑合璧，变量分离函数与导数不等式交汇的综合题中，涉及双变量问题的处理技巧，除上面所述的消元法，还常用变量分离构造新函数的单调性，下面列举2009年高考辽宁卷理科第23题详述此种方法的处理技巧。（2009 辽宁卷理科第23题）

（1）讨论函数 f （x） 的单调性;

解：（1） f （x） 的定义域为（0， +∞） 。

‘ a -1 x2 ? ax + a -1 （x -1）（x +1? a）

f （x） = x ? a + = = 2 分

x x x

（i）若 a -1 = 1 即 a = 2 ，则

故 f （x） 在（0， +∞） 单调增加。

（ii）若 a -1 < 1 ，而a > 1 ，故1 < a < 2 ，则当 x ∈（a -1，1） 时， f ‘ （x） < 0 ;

当 x ∈（0， a -1） 及 x ∈（1， +∞） 时， f ‘ （x） > 0

故 f （x） 在（a ?1，1） 单调减少，在（0， a ?1），（1， +∞） 单调增加。

（iii）若a ?1 > 1 ，即 a > 2 ，同理可得 f （x） 在（1， a ?1） 单调减少，在（0，1）， （a ?1， +∞） 单调增加.

（2）

结束语

通过对高考导数压轴题真题研究，为高考复习指引方向，近三年全国一卷对极值点偏移问题和双变量问题的处理技巧，是我们应该引起重视的，尤其对优秀学生而言，他（她）们完全有能力掌握并运用，希望借此文给读者以启示。