浅谈几何概型的几种解法

黄雪林

摘要： 几何概型是新课标的新增内容，对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率。一般可以分成如下几种概型问题：①长度型几何概型问题;②角度型几何概型;③面积型几何概型;④体积型几何概型。

关键词： 几何概型

中图分类号： G634.6    文献标识码： A    文章编号： 1672-9129（2018）09-0160-02

Abstract：  Geometry is a new addition to the new curriculum standard. For geometric probabilities， the key is to construct the geometry corresponding to the random event， and use the geometric metric of the graph to find the probability of the random event. Generally can be divided into the following types of general problems： 1 length geometric profile problem 2 angle geometry profile 3 area geometry profile 4 volume geometry profile.

Key words：  geometric profile

1 长度型几何概型

如果实验的结果所构成的区域的几何度量可用长度表示，那么其概率的计算公式为P（A）= 构成事件A的区域长度 实验的全部结果所构成的区域长度

例1、某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率？

解：设A={等待的时间不多于10分钟}，事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内，因此由几何概型的求概率公式得P（A）= 60-50 60 = 1 6  即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为 1 6

例2、取一根长度为4m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1m的概率？

解：设A={剪得的两段都不少于1m}，事件A恰好是剪的位置绳子中间2m，因此由几何概型的求概率公式得P（A）= 2 4 = 1 2

即“剪得的两段都不少于1m”的概率为 1 2

2 角度型几何概型

如果实验的结果所构成的区域的几何度量可用角度表示，那么其概率的计算公式为P（A）= 构成事件A的区域角度 实验的全部结果所构成的区域角度

例3.在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB是的内部做一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM

解：在AB上取AC=AC'，则∠ACC'= 180°-45° 2 =67.5°

设A={在∠ACB内部作一条射线CM，交线段AB于点M，AM

3 面积型几何概型

如果实验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，那么其概率的计算公式为P（A）= 构成事件A的区域面积 实验的全部结果所构成的区域面积

例4、取一个边长为2 a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.

解：设A={豆子落入圆内}，事件A恰好是豆子落入圆内面积，由几何概型的求概率公式得P（A）= 圆的面积 正方形的面积 = πa2 （2a）2 = π 4

例5、甲乙二人相约定6：00-6：30在约定地點会面，先到的人要等候另一人10分钟后，方可离开。求甲乙二人能会面的概率（假定他们在6：00-6：30内的任意时刻到达约定地点的机会是等可能的）。

解：以 x 及 y 轴分别表示甲乙二人到达约定地点的时间（分钟），

则0≤x≤30，0≤y≤30如图所示

且二人会面 x-y <10

角坐标系下，（x，y）的所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A={两人能够会面}的可能结果由图中的阴影部分表示，则P（A）= 302-202 302 = 5 9

4 体积型几何概型

如果实验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，那么其概率的计算公式为P（A）= 构成事件A的区域体积 实验的全部结果所构成的区域体积

例6、有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O是这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率是？

解：设A={点P到点O的距离大于1}

事件A发生的构成区域为以O点为球心，半径为1的半球外P（A）= sh- 1 2 v球 sh = 2 3

例7、正四面体D-ABC的体积为V，P是正四面体D-ABC内部的一个点。则四 面体P-ABC的体积>=1/4V的概率是？

解：设A={四面体P-ABC的体积>=1/4V}

事件A发生的构成区域为是四面体D-A′B′C′

P（A）= VD-A'B'C' VD-ABC = 27 64

拓展与延伸

类比例3与例8，由于M点的取法不同，所以构成的基本事件不一样。

例8、在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率.

解：在AB上截取AC′=AC，故AM

P（A）= AC' AB = AC AB = AC  2 AC =  2  2

参考文献：

[1]人民教育出版社编 普通高中课程标准实验教科书必修三

[2]江西高校出版社 金太阳导学案