多元情境多重体悟多维建构———《认识方程》教学案例（一）

鲍善军

【教学内容】

人教版五年级上册第62、63页。

【课前思考】

“认识方程”是学习代数的基础，是在学生熟悉了常见的数量关系，能够用字母表示数的基础上进行教学的，其内涵丰富而抽象。如何让学生顺利地从算术思维过渡到代数思维？如何让学生真正感受到方程的内在本质？这些都需要深入思考。

方程的本质是什么？简单地说，就是左右两边相等，这不仅是方程概念的本质，也是列方程解决问题的依据。陈重穆教授曾撰文呼吁：“含有未知数的等式叫做方程”这样的定义要淡化，不要记，无须背，更不要考。关键是要理解方程思想的本质，它的价值与意义。张奠宙教授对方程重新定义：“方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。”可见，“含有未知数的等式叫做方程”并非方程的严格定义，仅是一种朴素的描写，方程的意义不在于概念本身，而在于方程的本质特征：要“求”未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。

如何建构方程的意义？方程是一种工具，是一种现实模型，它能帮助我们很好地解决问题。教师引导学生建立方程模型，首先要为学生提供一个生动具体的现实情境，便于学生通过观察、比较，从中抽象出数学问题，并用简洁的数学语言进行描述。借助天平称物这一具体情境，抽象出数学式子，然后通过现实情境，找出两种事物的等量关系，学生逐步摆脱天平的表象，在数学问题中寻找“心中的天平”，在经历建模的过程中逐步巩固加深对方程概念的理解和应用。

方程思想的核心在于建模和化归，即依据等量关系列方程和依据等式性质解方程。学生在问题情境中探索、研究，寻求已知与未知之间的内在联系，建立数量之间的相等关系，把日常语言描述抽象成数学表达（数量关系式），再转换成数学符号（方程式）。因此，教学中不能只强调方程的外在形式，而应设置多元数学情境，经历多重活动体悟，进行多维模型建构，以凸显数学知识的本质，促进学生的数学理解。

【教学过程】

一、微课导入，整体感知方程

师：今天，我们要认识一位数学王国中的重量级人物——方程。关于方程，你知道或想知道些什么？（板书：方程）

生：我知道方程是一个算式，方程里有x、y这样的未知数。

生：我知道方程可以解决很多问题。

生：我想知道方程是谁发明的？

生：我想知道什么是方程？

……

师：其实，方程在我国很早就有了，最初的方程和现在可不一样。请同学们一起来了解一下方程的发展历史。（内容略）

师：看了这段视频，说说你对方程有了哪些新的认识？

（学生各抒己见，完善认知结构。教师相机板书：未知数、等式）

【设计意图：学生总是带着已有的生活经验走进课堂的，后续学习内容总是先前学习内容的进一步发展和提升。课始，开门见山点出要学习的内容，并以开放的姿态引导学生参与知识的建构与生成。之后微课中方程的发展史也是人类社会文明的发展史，学生在观赏视频的过程中接纳与分析信息，整体感知方程概念。】

二、多元情境，自主建构方程

1.在等量关系中建立方程的概念。

师：看！老师要给大家介绍一个很重要的朋友。（出示天平图）这个，你们认识吗？

生：认识！这是天平。

师：那你能用一个数学式子表达此时此刻天平中包含的数量关系吗？请写下来。（出示图1）

图1

生：50+a=110。（板书）

师：请问等号从哪里来？你怎么知道是相等的？

生：天平两边平衡，表示左右两边相等。

师：所以我们可以用等号相连，真不错！那么请问天平左边是苹果，右边是砝码，怎么会相等呢？难道苹果等于砝码？

生：不是苹果等于砝码，而是苹果的质量等于砝码的质量。

师：你们明白他的意思吗？

生：明白，苹果和砝码是两种不同的东西，但它们的数量相等。

师：也就是说，天平左右两边的两种事物的数量相等，我们就可以用这样的等式来表示，是吗？（板书：两种事物，数量相等）

生：是的。

师：那如果没有天平，你还能用这样的式子表示图中的等量关系吗？（出示图2、图3）

图2

图3

生：图2为3x=2.4，图3为x+2.7=6.9。（板书）

师：你是怎样找到图中的等量关系的？

生：图2中，可以根据数量关系“单价×数量=总价”，找到它们之间的等量关系。每本练习本x元，有3本，一共是2.4元，所以3x=2.4。

师：根据数量关系式来找不同事物间的等量关系是个不错的方法。那图3也有这样的关系吗？

生：图3中，x和2.7都是全长的一部分，数量关系是“部分数+部分数=总数”。

师：非常棒！我们一起看，像50+a=100，3x=2.4，x+2.7=6.9 这样的式子就是方程。现在，你能说一说什么是方程了吗？

生：方程表示两种事物之间的数量相等。

生：我觉得方程是未知数和已知数之间的等量关系式。

生：含有未知数的等式，叫做方程。

师：大家说的都很有道理！说明你们对方程有了更深入的理解。

（教师强化板书，形成下图）

【设计意图：方程的本质是描述现实世界中的等量关系，它的核心在于用数学的形式表达现实世界中的等量关系。“如果没有天平，你还能用这样的式子表示图中的等量关系吗？”引导学生脱离天平情境寻找“心中的天平”，进一步丰富对现实问题中未知数和已知数之间的等量关系的认识，体悟方程的概念。】

2.在辨析关系中丰富对方程的理解。

师：我们说，含有未知数的等式叫做方程。请判断：方程一定是等式，对吗？

生：正确！方程是含有未知数的等式，所以，方程一定是等式。

师：那等式一定是方程吗？

生：等式不一定是方程，比如2+8=10是等式，但没有未知数，就不是方程。

师：你能用集合圈表示出方程和等式之间的关系吗？

学生展示汇报：

生：方程一定是等式，等式不一定是方程。

师：根据这个集合圈，等式和方程的关系还可以怎么说？

生：等式包含方程，方程是一种特殊的等式。

【设计意图：于意义建构基础上辨析方程与等式之间的关系，意在帮助学生进一步丰富对概念的理解，厘清概念的外延。】

3.在关联情境中沟通方程的认知。

师：下列式子中的一个数、一个字母或一个符号被盖住了，想一想，这个式子有可能是方程吗？

出示：

x+★，25-x★16，★×7=42。

生：第一个式子不可能是方程。第二个式子，如果盖住的是等号，就是方程。第三个式子，如果盖住的是字母，那就是方程。

师：如果把“★×7=42”中的“★”改成“（）”，还是方程吗？

生：我认为不是，因为盖住的不是字母。

生：我觉得是方程，因为括号表示的是未知数。

师：是啊，含有未知数的等式就是方程。那如果把“★”改成“？”还是方程吗？

生：（异口同声）是。

师：原来，方程一直隐藏在我们身边。方程和我们早已经是老朋友了。

【设计意图：“这个式子有可能是方程吗？”呈现以往学习中接触过的含有未知数的等式，在学生破解悬念的兴奋中进行知识关联，再次凸显方程的本质，有利于学生更加清晰、全面地认识方程。】

三、综合应用，深入理解方程

1.根据图中的数量关系列出方程。

生：x-45=128。

师：你是依据怎样的等量关系列出这个方程的？

生：我的依据是：原价-优惠的价钱=现价。

生：还可以列出方程x-128=45，依据是：原价-现价=优惠的价钱。

生：还有一个方程45+128=x，依据是：现价+优惠的价钱=原价。

师：列方程时，我们一般顺向思考找出题中的等量关系，无需逆向思考。一起来看这位同学列的式子45+128=x，你们有什么想说的？

生：他这样列方程是逆向思考问题。

生：这个方程中45+128的计算结果就是x，感觉与以前学的算术方法一样。

师：是的。像这样的等式，x没有参与运算，本质上还是算术思维，所以列这样的方程也就没有意义了。

【设计意图：方程的价值在于求解，引入方程后，原本需要逆向思考的问题，可以通过顺向思考建立等量关系。当学生列出“45+128=x”时，教师并没有把问题留待日后解决，而是从一开始就让学生明白，未知数没有参与运算，本质上还是算术思维，列这样的方程是没有意义的。】

2.列方程表示下面各题的数量关系。

（1）

（2）乌龟每分钟爬行x米，4分钟共爬行80米。

（3）弟弟收藏邮票x张，姐姐收藏的邮票是弟弟的4倍，姐姐收藏邮票80张。

（4）一种糖果每千克x元，买4千克糖果需要80元。

师：观察这四道题，你有什么发现？

生：题目不一样，但列出的方程都是4x=80。

师：四道题目各不相同，为什么列出的方程却相同？

生：因为它们的数量关系相同，都可以用“每份数×份数=总数”来表示。

师：同一个方程4x=80，等量关系都是“每份数×份数=总数”，它们所表示的具体意义相同吗？

生：具体现实意义不同。第一题表示“成人人数+儿童人数=总人数”，第二题表示“速度×时间=路程”，第三题表示“弟弟的邮票张数×4倍=姐姐的邮票张数”，第四题表示“单价×数量=总价”。

师：是的，同一个方程可以表示同一类等量关系，但所表示的具体实际意义却各不相同，这就是方程的魅力所在。想一想，你还能根据方程4x=80编出不同的应用题吗？

（学生举例）

【设计意图：方程是一类事物普遍适用的数学模型。从这一角度来说，同样的4x=80逆推出的不同问题情境，都表示两种事物数量相等，而4x=80恰恰是这些不同情境、相似结构的数学问题的统一数学模型。这既丰富了方程的概念，又体会到方程的简洁美，感悟方程的模型思想。】

四、课堂小结，反思回顾方程

师：通过这节课的学习，你对方程有了哪些认识？有什么收获与体会？

【教后反思】

关于方程，教材的定义是“含有未知数的等式”，因而，很多教师的理解也往往局限于此。教学时在得出一些等式和不等式的基础上，通过分类引导学生从中筛选出等式，再筛选出含有未知数的等式，进而揭示方程的意义。笔者认同这一教学线索的合理性，但总觉得没有将方程本身的意义完全凸显。在笔者看来，方程的理解不能仅仅停留在“含有未知数的等式”这一层面，要力求达到本质的理解——方程表示的是两种事物的数量相等，是在未知数和已知数之间建立的等量关系。

对五年级的学生而言，方程不仅是外在形式上的认识，更要让学生感受它在解决实际问题时建立模型的过程。教学中，借助天平让学生明白方程所讲的是两种事物的数量相等，进而脱离天平的表象，从现实情境中抽象出等量关系，并用数学式子表示，感受到方程与实际问题的联系，领会数学建模的思想和基本过程。建构方程概念之后，“价格优惠”问题是让学生明白根据不同的数量关系式可以找到不同的等量关系，从而列出不同的方程，但未知数没有参与运算的方程是没有意义的。紧接着的题组练习是对方程的深入理解，只要等量关系相同，具有相同的数学模型，就可以列出相同的方程，但所表示的具体实际意义各有不同。最后，根据“4x=80”这一方程进行创编，让学生进一步体会方程的广泛应用，实现从算术思维向代数思维的过渡，获得对模型思想的深刻感悟。

其实，无论是方程概念的教学，还是其他数学概念的教学，都应该着眼于学生的多重体悟，重本质而轻形式，重感悟而轻结论，这一直是促进学生深入理解数学概念的有效策略。