关于线性代数中矩阵的秩的应用问题分析

廖婧 廖建新

摘 要：由于信息技术的不断进步，计算机在人们日常生活以及学术研究中应用情况变得越来越广泛，同样使得数学领域和理工类、经济类等多个领域的关联变得比以前更紧密，数学成为了我们解决许多学科问题的重要手段，数学课程也成为了各个阶段学习的重要基础课程。矩阵是我们在计算机中常用的数学量，因此对于线性代数中矩阵的研究有着重要的意义。本文介绍了关于矩阵和矩阵的秩的相关概念，并针对矩阵的秩在线性代数学科中的应用进行了分析。

关键词：信息技术；矩阵；线性代数；矩阵的秩

引言

数学是很多领域的基础，因此灵活掌握数学技巧是许多学术研究的必要条件。在不断进入信息化的现在更要求我们对计算机相关的许多数学知识进行深入学习，矩阵这一数学中的概念与计算机领域的关系十分紧密，因此对于线性代数领域中矩阵的学习十分必要。线性代数是一门比较抽象的学科，主要针对线性空间以及其中的一些变换进行学习，在线性代数的学习中，矩阵占据了十分重要的地位，对矩阵的概念的理解是学习线性代数的重要基础任务，相应的，对矩阵的变换和矩阵的秩的相关运算也是其中常考的重要运算和题型[1]。其中矩阵的秩可以说是矩阵学习中的核心部分，它表示了一个矩阵在数量上的特征，因此对于矩阵的秩的研究也是线性代数学习中的重要部分[2]。

1秩的概念

对矩阵的秩的掌握对于学好矩阵相关知识十分重要，因此本文首先对矩阵的秩的相关基本概念进行介绍。

在一个矩阵A中，如果该矩阵存在至少一个r阶的子式D的值不等于零，并且满足矩阵A的任何一个r+1 阶子式均等于零，那么这个非零子式D便可以称作是A的最高阶非零子式，这时该最高阶非零子式对应的阶数r我们便称它为该矩阵的秩，即R（A）=r。即，对于任意一个矩阵而言，它的最高非零子式对应的阶数就是该矩阵的秩。可以推出，若该矩阵为零矩阵，那么它的秩也同样为零。除此之外，对于矩阵的秩的概念还存在另外一种描述，那就是：在一个矩阵A中的极大无关组的个数[3]。

2 矩阵的秩的应用

矩阵的秩的相关理论以及求解在线性代数中应用十分广泛，本文针对几个重要的方面进行介绍。

2.1 解线性方程组

在线性代数这门学科中，对线性方程组的求解可以说是一个核心性的问题，首要我们要判定所给出的线性方程组是否有解存在，之后便要求出其解。在解线性方程组的过程中，往往将其与矩阵的概念相联系，将求解问题转化成矩阵的秩相关计算来进行解答，以方便求解。具体过程可以表示为：在判断线性方程组的解是否存在的时候，将其變化为计算方程相应的系数矩阵和它的增广矩阵的秩，并对这两个秩相同与否进行判断，这时可以分为三种情况进行讨论，第一，若系数矩阵的秩小于增光矩阵的秩，则该线性方程组无解；第二，若二者相等并且等于线性方程组中未知数的个数，则原线性方程组有一组解，并且只有这一组解；第三，若二者相等并且小于线性方程组中未知数的个数，则原线性方程组有解，并且有无穷多组解。通过利用求矩阵的秩来解线性方程组可以使复杂的问题简单化、具体化，具有很大的应用价值。

2.2 向量组的相关性判断

在线性代数中除了矩阵之外还有另外一个重要的概念便是向量，我们经常会遇到判断几个向量是否相关的问题，在解决这类题目的时候，对矩阵的秩的求解同样可以起到重要的帮助作用。变量之间存在的最常用的一种较简单的变换关系，并且在很多其他领域中也经常会应用到这种关系，因此在很多情况下，我们可以将问题转换思路，使其成为线性问题来找到解决方案。

若存在一组向量为u1 ，u2 ，...uk， 当式子 成立的条件只有c1，c2，....ck=0时候，原向量组为一组线性无关的向量组，反之，原向量组则为一组线性相关的向量组。

我们取一组k阶的列向量，若通过矩阵的形式对上式进行表示，可以写作：

，并且式中的A=[u1，u2，....uk]，c=[c1，c2，...ck]T，在将向量组的问题转化为矩阵的问题之后，想要判断线性方程组是否相关，该题目便可以转向求方程组Ac=0是否具有不为零的零解来运算。当矩阵A的秩等于向量的阶数的时候，原向量组为线性无关的向量组。根据这一推论我们可以解决很多关于向量的问题。这样便能够看出矩阵的秩的运算在判断向量组是否具有相关性上提供了很直观的解决方法，通过对矩阵的线性变换求秩可以使问题简单化。

2.3 二次型的正定

通过对二次型的正相关指数、负相关指数和矩阵的秩的关系可以判断出该二次型的正定、负定和半正定等特征。对于一个二次型

，并且矩阵A的转置与其本身相等，我们可以得到一下几个推断：第一，矩阵A正定等价于f的正惯性指数和矩阵的秩都和n相同；第二，矩阵A负定等价于f的负惯性指数以及矩阵的秩都和n相同；第三，若f的正惯性指数以及矩阵的秩相等可以等价于矩阵A半正定。矩阵的秩的求解为二次型判定中的一个重要步骤。

3 矩阵的秩求解重难点

通过上文的分析，我们可以看出矩阵的秩的求解对于解决线性代数中的许多重要问题都十分重要，并且和许多数学问题都具有紧密的联系。在关于矩阵的秩的求解中，首先要对其基本概念进行深入的理解和掌握，在此基础之上，要能做到使矩阵问题与线性方程组、向量组以及二次型等其他线性代数中的基本问题进行融会贯通，灵活掌握其精髓，并且矩阵的秩相关的概念本质上和线性方程组的维数以及向量组的秩的概念都具有很大的关联性，只有对相关概念都掌握熟练，并分析比较其异同点，才能对其内在联系熟练掌握，并且更好的应用矩阵的秩来解决线性代数中或其他领域中的相关问题。

4 总结

在线性代数这门学科中，矩阵为其中重要的一部分，对于矩阵的秩的求解及其应用更是重中之重，并且矩阵的秩和数学这门学科中的其他的很多概念都具有紧密的联系，因此了解矩阵的秩在线性代数中的应用对于数学的学习乃至计算机等理工科领域的学习都十分重要。本文通过对矩阵的秩的概念进行介绍，进一步引出了矩阵的秩应用于线性代数其他问题中的具体情况，分别针对不同情况的解决方法进行了分析研究，最后针对矩阵的秩掌握中的重难点进行了介绍，对掌握矩阵的秩相关概念以及其应用的研究具有一定的借鉴价值。

参考文献：

[1] 江蓉， 王守中. 矩阵的秩在线性代数中的应用及其教学方法的探讨[J]. 西南师范大学学报（自然科学版）， 2012， 37（8）：175-180.

[2] 赵伟. 矩阵的秩在线性代数中的应用及其实践教学方法的探究[J]. 考试周刊， 2016（40）：52-53.

[3] 周俊超. 线性代数中矩阵的秩的运用及教学策略分析[J]. 课程教育研究， 2016（12）：240-241.

作者简介：

廖婧，女，浙江师范大学2016级数理学院数学与应用数学专业本科生。

廖建新，江西师范大学副教授。