高中数学中如何由递推关系求数列的通项

董根娥

类型一：累加法（型如：an+1=an+f（n））

例1.在数列an中，a1=2，an+1=an+ln（1+），求an.

【解析】∵an+1=an+ln（1+），

∴an+1-an=ln，

∴a2-a1=ln2，a3-a2=ln，a4-a3=ln

……

an-an-1=ln.

以上n-1个式子相加得：an-a1=lnn，

又a1=2，∴an=2+lnn.

类型二：累乘法（型如：an+1=g（n）an）

例2.設数列an是首项为1的正项数列，且（n+1）a2n+1-na2n+an+1an=0（n=1，2，3，…），求an的通项公式.

【解析】原式可化为[（n+1）an+1-nan]（an+1+an）=0.

∵an+1+an>0，∴=.

则=，=，=，…=，

以上n-1个式子相乘，得=，∴an=.

类型三：构造新数列法（型如：an+1=can+d）（c≠1且d≠0）

例3.已知数列an中，a1=1，an+1=2an+3，求an.

【解析】（an+1+λ）=2（an+λ），可得λ=3

∴（an+1+3）=2（an+3）

∴数列an+3是公比为2，首项为a1+3=4的等比数列.

∴an+3=4·2n-1=2n+1

∴an=2n+1-3.

注：待定的λ=（熟记后即可加快解题速度）

类型四：（型如an+1=c·an+f（n））

例4.在数列an中，a1=-1，an+1=2an+4·3n-1，求通项an.

【解析】原递推式可化为：=+.

即=·+，记=bn，则bn+1=bn+.

∴bn+1-=（bn-）

∴数列bn-是公比为，首项为b1-=-的等比数列.

∴bn-=（-）·（）n-1

∴bn=-·（）n-1.

∴an=3n[-（）n-1]=4·3n-1-5·2n-1.

类型五：取倒数法

例5.已知数列an中，a1=1，且当n≥2时，an=，求数列an的通项公式.

【解析】将an=两边取倒数得：==2+

∴-=2（n≥2）

∴数列是公差为2，首项为=1的等差数列

∴=2n-1

∴an=.

类型六：取对数法

例6.若数列an中，a1=3，且an+1=a2n，求通项an.

【解析】由题意：an>0，将an+1=a2n两边取对数：lgan+1=2lgan

∴数列lgan是公比为2，首项为lga1=lg3的等比数列.

∴lgan=2n-1·lg3

∴an=32n-1.

类型七

例7.已知数列an满足a1+2a2+3a3+…+nan=n（n+1）（n+2），求通项an.

【解析】a1+2a2+3a3+…+nan=n（n+1）（n+2） ①

∴a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=（n-1）n（n+1） ②

①-②得：nan=3n（n+1）

∴an=3（n+1）=3n+3.

类型八 an=S1（n=1）Sn-Sn-1（n≥2）

例8.已知an>0，=，则通项an= .

【解析】（an+2）2=8Sn ①

（an-1+2）2=8Sn-1 ②（n≥2）

①-②得：（an+2）2-（an-1+2）2=8an，化简得：（a1+an-1）（an-an-1-4）=0.

∵an>0 ∴an+an-1>0 ∴an-an-1=4 ∴数列an是公差为4的等差数列.

又∵a1=S1=2 ∴an=4n-2

以上的类型是高中数列中已知递推关系求通项的常用类型，请同学们细心领会，认真掌握.

？誗编辑 张珍珍