在学生的“最近发展区”播种数学思想

张俊刚

苏联一位心理学家认为，学生有两种发展水平：一是学生的现有水平，即由一定的已经完成的发展系统所形成的学生心理机能的发展水平，如学生已经完全掌握了某些概念和规则；二是即将达到的发展水平，表现为“学生还不能独立地完成任务，但在教师的帮助下，在集体活动中，通过模仿能够完成这些任务”。这两种水平之间的距离，就是“最近发展区”。

最近发展区理论强调了教学在学生发展中的主导性、决定性作用，揭示了教学的本质特征不在于“训练”“强化”业已形成的内部心理机能，而在于激发、形成目前还不存在的心理机能。这一理论启发我们：教学实际上就是一个搭建脚手架的过程，在脚手架的帮助下，学生能够跨越新旧发展水平间的距离，在原有的发展水平的基础上，使自己在问题、知识、方法、思想等方面都能得到发展。

那么，如何立足“最近发展区”进行教学设计呢？前几日，我给高二会考复习的学生上了一堂课《平面向量的数量积的计算与简单应用》，课后，各位老师就本节课教师与学生的活动、教与学的效果给予了客观的评价，本人对本节课也作了认真的反思，对教学中几个环节的几点思考作了简单归纳，愿与各位老师交流。

反思一：教师对学生的提问需具体而且需在学生思维发展的最近区域内

当学生完成前置练习1时，对老师的提问“由此你能发现怎样的数学事实”感到无所适从，显然，仅通过做一道练习题让学生归纳一般性的结论是不合适的，归纳的特点是通过一系列特殊的例子获得一般性结论。因此，本人就练习修改为如下。

练习1：=2，=1，，的夹角为.

求：①·；②（2+）·（-）；③（（m+n）·（t+p）（m，n，t，p∈R）

这样修改后，学生将能再次体会平面向量基本定理的意义和价值，即只要知道了一组基向量的模和夹角，那么就可以求出由这一组基底线性表示的任意两个向量的数量积。学生在前面学习函数性质、等差数列与等比数列定义时也经历了由特殊到一般的归纳推理，通过这种引导，可以帮助学生逐步提高思维的抽象性与概括性。

反思二：题目编排要有连贯性，才能使得学生对问题的认识更加清晰、深刻，对方法的掌握更加熟练、灵活，有序建立的知识才是宜于应用的

尽管排题目时，前置练习与例题前后呼应，但数学的抽象性仍然模糊了学生的眼睛，学生的思维并没有得到真正的发展，因此，应将前置练习与相应例题的距离缩短成题组，所以，在练习1后排例题1的（1）（2），这样的变式是将已知条件由数转化为形，从而将陌生问题化为熟悉问题解决，体会数学中的化归与数形结合思想。另外，通过比较（1）（2）理解点M特殊为BC中点时，的数量积仅与其模有关，而与夹角无关，体会特殊性与普遍性之间的关系，需要学生由形的特征发现数的关系，在练习2后排例题1的（3），这样，引导学生从数量积的几何意义出发探究解决问题的途径，领会数量积的本质，归纳求数量积的方法，形成良好的思维品质，激发学生学习数学的热情。在练习3后排例题2，这样可能更合适，如果把练习1中的问题看成正向的问题，那么练习3中的问题则为逆向问题，通过解决练习3，让学生体会逆向思维受阻时，通过设元转化为正向问题，表述条件然后通过解方程获得答案，体会化归与方程思想。而例2需将形的信息化为数的信息，在练习3的启发下将条件化为=1，=1，3+4=5，求，夹角的问题，对于（2）引导学生将求三角形面积问题化为求夹角的问题，反思练习3与例2，体会数学中的建模思想。

例1：已知在△ABC中，=3，=2

（1）若点M是线段BC上一点，且MC=2BM，∠BAC=，求·；

（2）若点M是线段BC的中点，求·。

（3）若点M是△ABC的外心，求·.

练习3：已知=2，=1，-2=2，求，的夹角。

例2：△ABC内接于以O为圆心，半径为1的圆，且3+4+5=

（1）求证：垂直；（2）求S△ABC。

通过分类题型的练习，更加有利于教师引导学生去探究数学问题，而且有利于帮助学生对数学核心概念的深化理解，提升思维水平。

反思三：课堂中需根据学生的实际情况调整课前预设，才能帮助学生建立知识结构

学生较难理解“平面向量的数量积的几何意义”，究其原因是“平面向量的数量积的几何意义”的教学不到位，现作如下修改：

1.作前期铺垫

复习物理学中功的定义：“功”是力与在力的方向上通过的位移的乘积，其中“在力的方向上通过的位移”事实上就是位移在力的方向上的投影，依赖所学过的物理知识，学生不难理解投影的正负，向量的数量积就是两个量的积，这比定义中三个量的积要简洁。

2.通过练习，把握概念本质

练习2：已知点M是矩形ABCD的一邊BC上一点，AB=2，求·，·，·的值。

通过上述的复习与练习，考虑学生较易能从向量数量积的视角思考例题1的（3），进而比较与归纳求向量数量积的方法，形成解题能力。

以上内容就是本人关于这节课的点滴思考，越感觉到数学课永远都是一门遗憾的艺术，在数学课上，教师除了要给学生具体的数学知识外，更重要的是以此为载体传授一些思想。这里所说的思想，不仅指具体的“数学思想”，还包括意义更广泛的“研究策略”“行动策略”“哲学思想”等，思想的呈现主要依赖于教师的点拨与提炼，所以，将一些数学思想在学生的最近发展区播种是一种有效策略。

参考文献：

王克亮.立足“最近发展区”设计教学的策略初探[J].中学数学教学参考（上旬），2012（1-2）.

？誗编辑 赵飞飞