聚焦变式教学迸发思维火花

楼双燕

摘 要：现代心理学认为：数学是人类思维的体操，数学教学实质上是数学思维活动的教学。在进行高中数学课堂教学过程中，通常会用变式教学的方法，采取变式提问的引导式教学，引导学生进行多方面的研究和探索，从而找到解决问题的根本途径。

关键词：变式教学；思维；高考数学

纵观近几年的高考数学试题，可以看出高考数学试题加强对知识点灵活应用的考查，这就要求我们教师平时要加大对学生思维能力的培养。如何提高学生的思维能力，提升学生的解题速度、正确率，光靠题海战术是不够的，本人认为要注重学生解题后的反思、点评，发挥“一题多变”“一题多解”“多题一解”的变式，打破学生的传统解题思想，从全新的角度进行分析，找到最佳的解决方案，提高解题效率。

变式教学注重对学生内在思维的递进过程，利用变式教学对问题进行化归，是数学教师在教学中常用的、极其有效的教学手段，可以让学生站在整体的角度，全面地思考问题，同时也有助于培养学生主动思考的意识。而这些都需要教师在新旧知识之间做一定的铺垫，层层递进，使得学生能一步步地解决问题。本文主要对这三种解题方法及题型的变式进行阐述。

一、一题多变之变式

一题多变之变式，就是通过对某一题目进行条件变化、结论探索、逆向思考、拓广变式、推广应用等多角度、多方位的探究，使一个题目变为一类题，达到举一反三、触类旁通的目的，培养学生良好的思维品质及探索、创新能力。

例：已知椭圆+=1的两个焦点F1，F2，P是椭圆上的一

点，∠F1PF2=90°，则S△FPF=__________。

变式1：若“∠F1PF2=90°”改成“∠F1PF2=60°”，则S△FPF=__________。

变式2：已知椭圆+=1（a>b>0）的两个焦点F1，F2，P是椭圆上的一点，∠F1PF2=？兹，则S△FPF=__________。

变式3：已知双曲线-=1（a>0，b>0）的两个焦点F1，F2，P是双曲线上的一点，∠F1PF2=？兹，则S△FPF=__________。

本例题是一个特殊角90°的问题，变式成一般的角度60°，勾股定理就无法使用了，需要用到椭圆的定義及余弦定理，（2c）2=PF12+PF22-2PF1PF2cos60°=（PF1+PF2）2-3PF1PF2=4a2-3PF1PF2，

所以PF1PF2=（a2-c2）=b2

所以S△FPF=PF1PF2sin60°=b2=3

若改成一般椭圆呢？能否既得到一般性的结论，又具有推广意义，进行了变式2的训练，此时经过计算可得出S△FPF=b2tan，再者我们将椭圆变成双曲线，同样利用双曲线的定义及余弦定理得出S△FPF=，从而进一步激发学生学习的热情。

变式4：已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的

一个公共点，且∠F1PF2=60°，则椭圆和双曲线离心率的倒是之和的最大值为_______（2014年湖北省数学高考理科试题第9题）

利用椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式得：b21tan30°=（设椭圆和双曲线的虚半轴长分别为b1，b2，离心率分别为e1，e2）

即+=4，由柯西不等式得（+）2=（+·）2≤（+）·（1+）=，当且仅当=时取到等号，从而+≤。

点评：一题多变已归类出一般性的结论，为了能进一步巩固结论，又进行拓展变式4的训练，使学生掌握知识间的联系，培养学生的发散思维。一题多变的题目，重视了同类题型的归类总结，从而避免了盲目的题海训练，使数学课堂的教学变得轻松而有效率。

二、一题多解之变式

一题多解是指从不同角度，运用不同的数学原理、不同的数学方法和不同的数学思路进行解题。

例：已知x，y∈R+，且2x+y=1，则+的最小值为______。

本例题利用基本不等式求最值的一类典型例题，学生也比较容易出错，比如：

2x+y=1≥2，当且仅当2x=y时取到等号，从而+≥2≥4，当且仅当x=y时取到等号，这样的错误未考虑两次均值不等式能否同时取到等号。下面从不同方法来解决此类例题。

解法一：“1”的代入

+=（+）（2x+y）=3++≥3+2，当且仅当=时取到等号，所以+的最小值为3+2。

点评：已知“和”为定值，求“和”的最值问题，解题的基本思路是两者相乘，构造基本不等式。

解法二：三角换元法

因为x，y∈R+，且2x+y=1，所以令2x=cos2α，y=sin2α，所以+=+=+=3++≥3+2，当且仅当=时取到等号。

点评：已知“和”为定值，可以借助于cos2α+sin2α=1，运用三角换元法构造基本不等式。

解法三：消元构造法

因为x，y∈R+，且2x+y=1，所以x=1-2y且y∈（0，），则+=+===当且仅当1-y=时取到等号。

点评：通过解法一、二、三的教学，可以让学生轻松地理解和掌握均值不等式在求最值时应满足的三个条件“一正、二定、三相等”。

解法四：整体换元法

令+=t，则txy=x+y，

又因为x，y∈R+，且2x+y=1，所以x=1-2y且y∈（0，）

所以t（1-2y）y=1-2y+y

即方程2ty2-（1+t）y+1=0在y∈（0，）内有解。

令f（y）=2ty2-（1+t）y+1，则<Δ≥0或≥f（）<0，解得

t≥3+2

点评：整体换元的解题基本思路是运用函数的思想方法，求

某个量的最值就可看成关于某个自变量的函数，如果变量较多，就采取消元的思想进行降元。

开展一题多解，有利于培养学生的辩证思维能力，加深学生对知识的理解，巩固数学思想方法的渗透，挖掘例题的内涵，激发学生学习的兴趣，使不同层次的学生的数学思维能力都得到提高，培养学生的发散思维。但一题多解的最终目的不是展示多少种方法，而是寻找一种最佳、最简洁的方法。

三、多题一解之变式

在数学解题的实践中可以看出，虽有多个题目，但属于同一种类型，故可用同一种思路或方法来解决问题，即为多题一解。在解题过程中，为强化某一解题方法，我们将一些不同内容的练习有机串联起来，编成一组，引导学生进行观察，让学生用同一种方法去解，达到强化训练的目的，提高学生的化归能力，使零碎的知识整合成一个有机的整体，从而提高学生解题技巧技能和运用知识的能力。

例：已知x，y∈R+，且2x+y=1，则+的最小值为______。

在前面我们已经用多种方法解决了本例题，在平时最常用的、最简洁的方法还是“1”的代换，可归纳为：已知“和”为定值，求“和”的最值问题。为了更好地活用“和”为定值的条件，在教学中可以给出变式，达到举一反三的效果。

变式1：已知x，y∈R+，且+=1，则x+y的最小值为______。

点评：x+y=（+）（x+y）=10++≥10+2=16，当且仅当=时取到等号。

变式2：已知x，y∈R+，且9x+y=xy，则x+y的最小值为_________。

点评：因为x，y∈R+，且9x+y=xy，所以+=1，就回到了變式1，充分挖掘题目中“和”为定值的隐含条件，就迎刃而解。

变式3：设a>b>c，不等式+≥恒成立，则m的最大值为______。

点评：因为a>b>c，所以a-b>0，b-c>0，a-c>0，所以变式3的原不等式等价为[（a-b）+（b-c）]（+）≥m恒成立的问题，[（a-b）+（b-c）]（+）=2++≥2+2=4，当且仅当=，即a+c=2b时取到等号，所以m的最大值为4。

变式4：已知x，y，z∈R+，且x+y+z=2，则++的最小值为_________。

点评：++=（++）（x+y+z）=（3++++++）≥（3+2+2+2）=，当且仅当x=y=z时取到等号。

可见，我们在教学中对一些典型例题进行变式或引申是很有必要的，虽然这里有多个题目，但都属于已知“和”为定值，求“和”为最值的问题，通过多解一题的变式，不仅达到了复习巩固的目的，还可以挖掘学生思维的深度。同时我们在本例（已知x，y∈R+，且2x+y=1，则+的最小值为________）的一题多解的基础上通过变式训练，将其解题的思想方法进行整理提炼，升华为多题一解，来提高学生的探究能力及学习数学的兴趣。

顾泠沅教授曾说过：“变式教学是我国中学数学课堂教学的一大法宝。”变式教学其实是一类“体系”教学即教师引导学生由特殊到一般、由一般到特殊多视野认知同一类体系的数学问题的循环过程，在数学课堂中恰当地运用变式教学可以有效促进学生对概念本质的理解，培养学生思维的科学性、深刻性和变通性，培养学生的发散思维，加深学生的思维深度，还能提高学生解决问题的能力。变式教学是将学生从“题海”中解脱出来的一种重要途径，同时也使学生在课堂上迸发了学习的思维火花。

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