“疑探并举”出新知

王欢

摘 要：为适应中国教育发展的需要，近十年来，全国先后涌现出众多新型教学模式，以河南省西峡第一高级中学为代表的“三疑三探”教改模式就是其中之一。目前，“三疑三探”教学模式已被命名为“河南教育名片”推向全国，有幸前往该中学进行为期三个月的教育实习，对“三疑三探”教改模式进行了研究，现结合一则课堂实录来谈一些粗浅的想法，以求抛砖引玉。

关键词：教改；疑探并举；教学

一、“疑探并举”内涵

“三疑三探”教学模式包括“设疑自探”“解疑各探”“质疑再探”三个环节，通过疑问与探究相结合的教学手段，促进学生学会主动提出问题，独立思考问题，合作探究问题，同时养成敢于质疑、善于表达、认真倾听、勇于评价和不断反思的良好品质和习惯.

二、課堂实录一则

（一）给出例题，解疑合探

例题 已知x>0，y>0且2x+8y-xy=0，求x+y的最值.

T：思考，尽可能想出更多的解法.

S1：（解法一）由2x+8y-xy=0知+=1，

故x+y=（x+y）（+）=10+（+），

由基本不等式知（+）≥2=8，

故x+y≥10.

T：利用基本不等式求出了最小值，是一种常见的解法，还有疑问吗？

S2：没有验证等号成立条件，当x=2y时取等号.

T：S2同学很细心，等号成立条件很重要，这是个容易忽略的地方，需要特别注意.

S3：用基本不等式只能求出最小值，怎么来证明没有最大值呢？

S4：由+=1知，如果令x=8，为了满足等式成立条件，须y∞+∞，此时（x+y）∞+∞，故没有最大值.

S5：我还想到了另外一种解释，基本不等式其实就是对勾函数的一种特例，令t=（t≥0），可知x+y=10+（t+），此时化成一个关于t的对勾函数，根据函数图象可知，值域为[18，+∞），即无最大值.

T：这两位同学分别从两个角度来说明问题，第一位同学使用了数学中极限的思想，第二位同学对基本不等式的本质，即对勾函数，有很深刻的理解.

S6：我也利用基本不等式解出了这道题目，由2x+8y-xy=0知8-xy≤0，进而≥8，故x+y≥2≥16，求出最小值为16.

T：这位同学用了两次基本不等式，进而求出最值.

S7：为什么两种做法得到的答案不同呢？

S8：（马上回答）他的做法不对，在第一次使用基本不等式等号时成立的条件是2x=8y，而第二次是x=y，显然两者不可能同时满足，故等号条件无法成立.

T：不错，利用基本不等式求最值，一定要注意三个基本条件，特别是在多次使用基本不等式的时候，一定要注意等号成立条件是否相同.

S9：（解法二）由2x+8y-xy=0知，（x-2）（y-8）=xy-2x-8y+16=16，故（x-2）+（y-8）≥2=8，x+y≥18.

T：S9同学非常聪明，巧妙地运用了配凑的方法进行求解.配

凑法是一种较为高级的方法，需要平时的积累加上一定的灵感.

S10：（解法三）由2x+8y-xy=0知，y=，此时，f（x）=x+==（x-8）++10，由x>0知x-8>-8，故f（x）∈（-∞，2]∩[18，+∞），无最值.

T：用含有x的代数式表示y，进行替换，再利用基本不等式求最值，这也很常用的一种解法，可是得到的答案与前面不妥，他的解法有什么不妥的地方吗？

S11：我认为他做得不对，当得到y=时，因为y>0，故>0，从而x>8，此时，x+y的范围是[18，+∞），与前两种解法的答案就一致了.

T：很好，S10同学只看到了题目中x>0的条件，而S11同学能看到隐含的条件y=>0，这也提醒我们在做题的时候要注意挖掘隐含条件.

（二）教师引导，质疑再探

T：以上的第一、第三种解法都是解决此类题目的常用方法，现在请大家回过头来再看解题方法、过程，勇于提出你的疑问，进而探寻解法背后更加深刻的数学本质.

S12：第一种解法使用的是基本不等式，但是只有一个最值，而且这个最值还需要在等号成立的条件下才能求出，这就为解题带来了不便，在第一种解法中，可以明显感觉到这一点，我认为，基本不等式既然源于对勾函数，那么它的数学本质就应该是函数，求此类最值问题，也就转化为求对应函数在所给区间上的最大值和最小值.

S13：我同意上一位同学的观点，运用基本不等式求解还有另外一个难点，就是如何配凑成标准形式，这需要一定的技巧，往往不容易想到.

T：以上两位同学对第一种解法的本质把握得非常到位，需要提醒的一点是S12同学在表述上有点问题，“最值”是函数性质的

一个特定名称，这也提醒我们在学习数学的时候一定要注意语言的严谨性.函数思想是贯穿高中数学的一条主线，通过基本不等式这一章的学习，大家需要进一步加强对对勾函数的掌握.

S14：老师，可不可以把所求的代数式x+y看作是一个关于两个变量x和y的函数解析式，进而把求x+y的范围转化为求一个关于两个变量的函数在定义域上的值域？

T：这位同学提出了一个很大胆的想法，把所求看出函数，也就是f（x，y）=x+y，这是函数吗？如果是函数，它又是什么函数呢？

S15：我认为f（x，y）=x+y是一个关于两个变量的函数，之前我们学习的都是关于一个变量的函数，叫做一元函数，那么这个就应该是二元函数.

T：很好，有同学已经给出了这种函数的名字，同学们准备如何来研究二元函数呢？

S16：根据以前学习函数的经验，我认为可以先作出函数的图象，然后直接找出在给定定义域内函数的值域即可.

T：这是一种很好的思路，只可惜以我们现在的知识还不能直接作出二元函数的图象，还有同学有其他思路吗？

S17：学完一元方程，学习二元方程的时候，使用的方法是“消元法”，这种消元的思想可以用来求解二元函数的值域，例如，例题中的第三种做法使用的是代换的方法，将y=代入f（x，y）=x+y得到f（x）=x+，即转化为求一元函数f（x）在[8，+∞）的值域.其数学本质就是消元的思想.

T：很好，这位同学用类比的方法，找到了求解二元函数的一种方法——“消元法”，消元的目的是将二元函数转化为所熟悉的一元函数来求解.今天，我们首次给出二元函数这个概念，请同学们总结一下，在不等式这一章，还遇到过哪些二元函数的题目呢，又是如何求解的呢？

S18：题目：已知a≥0，b≥0，a+b=1，求+的范围.解法：通过基本不等式或消元法求解.

S19：题目：已知x，y满足条件x-2y+7≥04x-3y-12≤0x+2y-3≥0，求（1）z=；（2）z=；（3）z=x2+4x+y2的取值范围.解法：运用几何意义求解.

T：通过解答同学们给出的题目，我们进一步认识了二元函

数，同时也总结出了求解二元函数给定条件求最值问题的三种常用解法，即消元法、基本不等式法和几何意义法.同学们今后见到有关二元函数问题时，要注意总结做法.在这个题目的三种不同解法中，函数思想作为连接其中的纽带，使得各种做法之间又相互联系，使得数学这门课程更加缜密！这也要求同学们在以后的学习中在注重一题多解的同时，也要思考如何多解归一，体会数学学习的乐趣.

三、小节

认知心理学家认为，创新来自基本的认知过程，就本质而言，创新是广义的认知，当原认知结构进行内化（推理）时出现断线（疑问），二者都必须借助质疑、解疑才能重新建构，进而融会贯通，建立新认知结构.

在自由质疑、解疑合探的过程中，一方面，教师更容易发现学生数学认知结构的断链处，从而进行有效的弥补（例如S5同学在使用两次基本不等式时没有考虑等号成立条件，暴露出他的认知结构中“未能理解基本不等式的数学本质”的问题）；另一方面，学生对原有认知结构中内容、关系重新审视反思，可能有所发现、创新，从而进行数学知识、结构的重新建构.（例如同学创新性地提出二元函数这个概念，在众人合力探索之下，总结归纳出求解二元函数条件极值的几种常见方法）.由此可见，创新始于质疑，终于探索，要想创新必先敢于质疑，想要创新必先勇于探索.“三疑三探”教学模式之所以能够培养出创新性人才，其本质尽在“疑探并举”中.

参考文献：

[1]杨文普.如何正确运用“三疑三探”教学模式[N].中国教育报，2008-10-10.

[2]孙旭花.质疑，学会认知、学会创新的突破口[J].数学教學，2000（2）：23-25.

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